S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
- Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht
()DNDZ
v
()DZW
trong lp cỏc khụng gian Frechet phõn bc cựng c trng ca
cỏc tớnh cht
()DNDZ
v
()DZW
.
- Chng minh chi tit mt s kt qu v cỏc tớnh cht
()DNDZ
v
()DZW
trong lp cỏc khụng gian Frechet phõn bc cựng c trng ca cỏc tớnh
cht
()DNDZ
v
()DZW
.
3. Phng phỏp nghiờn cu
gii quyt cỏc nhim v t ra chỳng tụi ó tin hnh:
- c tham kho cỏc ti liu trong v ngoi nc, trao i, tham kho
v hc tp cỏc chuyờn gia cựng lnh vc nghiờn cu.
- p dng cỏc phng phỏp truyn thng ca gii tớch hm, gii tớch
hin i v cỏc phng phỏp ca lý thuyt v cỏc bt bin tụpụ tuyn
tớnh. C th õy chỳng tụi ó k tha cỏc kt qu v phng phỏp
gn õy ca Vogt, M.Poppenberg gii quyt cỏc bi toỏn c th ó
nờu ra trờn.
4. B cc ca lun vn. Ni dung lun vn gm 52 trang, trong ú cú phn
m u, hai chng ni dung, phn kt lun v danh mc ti liu tham kho.
Chng 1 ca lun vn trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc
tớnh cht
()DNDZ
v
()DZW
trong lp cỏc khụng gian Frechet phõn bc
cựng c trng ca cỏc tớnh cht
()DNDZ
v
()DZW
.
Chng 2 ca lun vn cng l chng cui vi ni dung chớnh l trỡnh by
chng minh chi tit cỏc kt qu ca N.V.Khuờ, L.M.Hi v B..Tc v cỏc
tớnh cht
()DNDZ
v
()DZW
trong lp cỏc khụng gian Frechet phõn bc
cựng c trng ca cỏc tớnh cht
()DNDZ
v
()DZW
. Phn cui cựng ca
chng ny dnh cho vic trỡnh by cỏc kt qu v tớnh n nh ca cỏc tớnh
cht
()DNDZ
v
()DZW
i vi khụng gian i ngu th hai.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
Cui cựng l phn kt lun trỡnh by túm tt kt qu t c.
Bn lun vn c hon thnh ti trng i hc S phm - i hc
Thỏi Nguyờn di s hng dn tn tỡnh ca TS. Phm Hin Bng. Nhõn
dp ny tụi xin by t lũng bit n thy v s hng dn hiu qu cựng nhng
kinh nghim trong sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun vn.
Xin chõn thnh cm n Ban ch nhim Khoa Toỏn, cỏc thy cụ giỏo
trong t Gii tớch, cỏc thy cụ giỏo trong trng i hc s phm - i hc
Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn hc v trng i hc S phm H Ni ó ging
dy v to iu kin thun li cho tụi trong quỏ trỡnh hc tp v nghiờn cu
khoa hc.
Xin chõn thnh cm n trng i hc S phm - i hc Thỏi
Nguyờn, trng Cao ng k thut m Qung Ninh cựng cỏc ng nghip
ó to iu kin giỳp tụi v mi mt trong sut quỏ trỡnh hc tp v hon
thnh bn lun vn ny.
Bn lun vn chc chn s khụng trỏnh khi nhng khim khuyt vỡ vy
rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn hc
viờn lun vn ny c hon chnh hn.
Cui cựng xin cm n gia ỡnh v bn bố ó ng viờn, khớch l tụi
trong thi gian hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun vn.
Thỏi Nguyờn, thỏng 09 nm 2007
Tỏc gi
Nguyn Duy Phan
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
CHNG 1
C TRNG CA CC TNH CHT
()D N D Z
V
()DZW
TRONG LP CC KHễNG GIAN FRECHET
Trc tiờn chỳng tụi s trỡnh by mt s khỏi nim v kt qu v cỏc
tớnh cht
()DNDZ
v
()DZW
l c s trỡnh by c trng ca cỏc tớnh
cht
()DNDZ
,
()DZW
.
1.1. Mt s khỏi nim c bn.
1.1.1. nh ngha. Mt dóy khp cỏc khụng gian li a phng v ỏnh x
tuyn tớnh liờn tc l mt dóy hu hn hay vụ hn
fg
E F Gìììđ ắ ắđ ắ ắđ đ ììì
sao cho nh ca ỏnh x tuyn tớnh vo bng ht nhõn ca ỏnh x tuyn tớnh ra.
1.1.2. nh ngha. Mt dóy cỏc khụng gian li a phng v ỏnh x tuyn
tớnh liờn tc cú dng
00
fg
E F Gđ ắ ắđ ắ ắđ đ
c gi l dóy khp ngn nu
{ }
0,Kerf =
imf kerg=
v
img G=
.
1.1.3. nh ngha. Dóy khp ngn
00
fg
E F Gđ ắ ắđ ắ ắđ đ
c gi l ch nu xy ra mt trong hai iu kin tng ng sau :
)i
f
cú ngc trỏi.
)ii
g
cú ngc phi.
Khi ú
F E G=
(
l tng trc tip tụ pụ ca
E
v
G
).
Bõy gi xột phm trự tame vi cỏc vt l cỏc khụng gian Frechet phõn
bc
,EF
, ( trờn
K
=
Ă
hoc
Ê
), tc l cỏc khụng gian Frechet c trang
b dóy cỏc na chun c nh
0 1 2
. . . Ê Ê Ê
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
xỏc nh tụpụ; dóy c gi l bc. Cỏc khụng gian con v khụng gian
thng c trang b cỏc na chun cm sinh. Cỏc cu x l cỏc ỏnh x
tuyn tớnh tame gia cỏc khụng gian Frechet phõn bc.
1.1.4. nh ngha. nh x tuyn tớnh
:A E Fđ
c gi l tame nu tn
ti
0b
v cỏc hng s
0
n
c >
( cú th ph thuc vo
n
) sao cho
nb
n
n
Ax c x
+
Ê
vi mi
0n
v
xEẻ
.
1.1.5. nh ngha. nh x tuyn tớnh
:A E Fđ
c gi l ng cu
tame nu
A
l song ỏnh v
1
,AA
-
u l tame.
Hai bc trờn
E
c gi l tng ng tame nu phộp ng nht l ng
cu tame.
1.1.6. nh ngha. Dóy khp ngn cỏc khụng gian Frechet phõn bc
00
iq
E F Gđ ắ ắđ ắ ắđ đ
c gi l khp tame nu cỏc ỏnh x chớnh tc
:i E iEđ
v
:/
%
q F iE Gđ
l cỏc ng cu tame.
1.1.7. nh ngha.
E
c gi l tng trc tip tame ca
F
, nu tn ti
cỏc ỏnh x tuyn tớnh tame
:i E Fđ
v
:L F Eđ
sao cho
oLi
l phộp
ng nht trờn
E
.
Vi mi
Ej
Â
ẻ
ta nh ngha
{ }
{ }
*
( ) : 1 Ă
n
n
sup x xjj= Ê ẻ ẩ + Ơ
,
{ }
:1
n
n
U x E x= ẻ Ê
,
{ }
*
0
:1
n
n
UEjj
Â
= ẻ Ê
.
Cỏc khụng gian Frechet sau õy l cỏc khụng gian phõn bc mt cỏch
t nhiờn, tc l khụng gian dóy
&&
Kothe
()
p
al
v khụng gian cỏc chui lu
tha kiu hu hn
()
p
a
Ơ
L
:
{ }
1
( ) ( ) : ,
Ơ
K
p
n
jj
a x x x nl
Ơ
=
= = ẻ < + Ơ "
,
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
6
1/
,
1
p
p
p
n
j j n
j
x x a
Ơ
=
ổử
ữ
ỗ
ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ồ
nu
1 pÊ < + Ơ
,
,
1,2, ,
n
j j n
j
x sup x a
=Ơ
=
nu
p =Ơ
,
trong ú
, 1, 0
()
j n j n
aa
Ơ
==
=
l ma trn tho món
, , 1
0
j n j n
aa
+
ÊÊ
vi mi
,jn
v
,
0
jn
n
sup a >
vi mi
j
.
i vi dóy bt k
12
0 aaÊ Ê Ê + ƠZ
,
( ) ( )
pp
aal
Ơ
L=
vi
,
j
n
jn
ae
a
=
. i vi
0e >
bt k,
( log ) ( )
p p p
s j a
e
el
Ơ
= L =
vi
.
n
jn
aj
e
=
,
1 1 1
1
( ) ( ), ( ) ( ), ,a a s s s s
ee
l l a a
ƠƠ
= L = L = =
.
Ta trang b cho
w = K
Ơ
(tng ng
()
p
s
e
Ơ
) cỏc bc
1
n
n
i
i
xx
=
=
ồ
(tng ng
01
1
( , , ) ,
n
i i p
n
n
i
x x x x s
e
=
=ẻ
ồ
).
Trang b cho
[ ] [ ]
{ }
, ( ) : ,D a b f C supp f a b
Ơ
= ẻ Ă
vi bc
[ ]
()
0, ,
( ) .
i
n
i n x a b
f sup sup f x
=ẻ
=
Nu
H
l khụng gian Frechet v .
1
.
2
.
n
l h
tng cỏc na chun liờn tc trong
H
,
k
H
l khụng gian Banach kt hp
vi na chun
.
k
;
:
kk
HHw đ
v
,
: ( )
n k n k
H H n kw đ>
l cỏc ỏnh
x chớnh tc.
Tng t , nu
E
l khụng gian Frechet phõn bc thỡ ta ký hiu
n
E
l
khụng gian Banach kt hp vi na chun
.
n
, tc l khụng gian nhn c
bng cỏch b sung
( / . )
n
E ker
i vi
.
n
.
Ký hiu
s
khụng gian cỏc dóy gim nhanh vi h cỏc na chun
tng ng:
{ }
:
k
k
j
x sup x j j=ẻƠ
vi mi
12
( , , )x x x s=ẻ
.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
Vi mi
k
c nh t:
{ }
12
( , , ) :
k
k
kj
s x x x s x sup x j= = ẻ = < + Ơ
.
1.1.8. nh ngha. Cho
E
l khụng gian Frechet phõn bc.
)i
Cho
0e >
bt k,
E
c gi l
()e -
hch tame nu
E
ng cu tame
vi khụng gian con ca
2
()s
e
Ơ
.
)ii
E
c gi l hch tame nu tn ti
0e >
sao cho
E
l
()e -
hch
tame, hoc tng ng:
tn ti
0, 0qe >
v cỏc hng s
,
0
km
c >
sao cho
()
,
( ) ( 1)
mq
n k m k k m
a E E c n
e
+
đ Ê +
vi mi
,0m q k
v
0n
,
ú
( , ) ( )
n n k m k
a k k m a E E
+
+ = đ
l cỏc s xp x ca cỏc ỏnh x chớnh
tc
k m k
EE
+
đ
.
Vi khụng gian tuyn tớnh
E
bt k v cỏc tp con tuyt i li
A B Eéé
ta ký hiu
{ }
( , ) : ( , , ) : ,
n
d A B inf d A B F F E dimF n= é Ê
l s Kolmogorov th
n
, m trong ú vi bt k khụng gian con
FEé
{ }
( , , ) 0 :d A B F inf d A dB F= > é +
1.2. c trng ca tớnh cht
()D N D Z
.
1.2.1. Tớnh cht
()D N D Z
v nh lý ch tame.
Trong [11], [15] D.Vog ó chng minh rng khụng gian Frechet hch
E
ng cu tụpụ vi khụng gian con ca
s
nu
E
cú tớnh cht
()DN
, tc l
2
11
. . . .
n n n-+
Ê
vi mi
n
.
Trong trng hp ny, vi mi
0 inÊÊ
v
0k
ta cú
. . . . ,
k i k i
n n i
nk
+
-
+
Ê
t ú bng cỏch ly minimum theo
r
vi mi
0r >
ta nhn c
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
1
. . . ,
i
n n i n k
k
r
r
-+
Ê+
v theo nh lý song pụ la vi mi
0r >
ta cú
0 0 0
1
i
n n i n k
k
U r U U
r
-+
é+
.
1.2.1.1. nh ngha. Cho
E
l khụng gian Frechet phõn bc . Ta núi rng
E
cú tớnh cht
()DNDZ
Nu tn ti
,0bp
v cỏc hng s
,
0, 0
n n k
cc>>
sao cho
,
0 0 0
1
nb
nk
ip
n n n n k
kp
i p k p
C
U c r U U
r
-Ơ
+
-+
-
= - =
ổ ử ổ ử
ữữ
ỗỗ
ữữ
é+
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
II
.
Khi
0bp==
,
E
gi l cú tớnh cht
()DND
.
1.2.1.2. Mnh [5]. Nu khụng gian Frechet phõn bc
E
ng cu tame
vi khụng gian con phõn bc ca
()a
Ơ
L
thỡ
E
cú tớnh cht
()DNDZ
.
1.2.1.3. Mnh . Gi s
0 ( ) 0
iq
EEa
Ơ
Ơ
ắ ắđ L ắ ắđ ắ ắđ ắ ắđ
%
l dóy khp tame cỏc khụng gian Frechet phõn bc v
E
cú tớnh cht
()DNDZ
. Khi ú dóy khp l ch tame, tc l
q
cú ngc phi tame.
Chng minh.
B i mt s hu hn cỏc na chun trong
E
%
v trang b cho
E
cỏc
na chun thng, ta gi s vi
()x a
Ơ
Ơ
ẻL
v
yEẻ
:
{ }
, : ,
n
n
n
n
x ix y inf E q yx x xÊ = ẻ =
%
,
v
E
cú tớnh cht
()DNDZ
vi
0b =
, tc l vi
0, 0nr>
0 0 0
,,
0
np
n p m n p m
n n m n m m n m
m m n p
U c c r U c r U
+
Ơ
+ - + -
= = +
ổử
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
é+
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ốứ
II
.
Theo nh lý Hahn - Banach ta thỏc trin hm to th
j
( ) , ( )
j j j
f f x xa
Ơ
Ơ
Â
ẻ L =
ti hm
n
j
FE
Â
ẻ
%
sao cho
*
n n j
j
n
Fe
a-
=
. Chn
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
0
1
2
j
n
n
jn
G e U E
a-
+
Â
ẻé
sao cho
1n n n
j j j
G q F F
+
=-o
, v chn
1
1
kk
cc
+
ÊÊ
vi
,
:2
mk
m p m
mm
k
k
c
D c sup
c
-
= < + Ơ
.
p dng iu kin
()DNDZ
trờn
n
j
G
vi
1
1
2
j
n
re
c
a
+
=
, ta chn
n
j
gE
Â
ẻ
sao
cho
*
( 1 )
2
j
pm
nn
jm
m
g D e
a+-
-
Ê
vi mi
m n pÊ+
,
*
( 1 )
2
j
pm
n n n
j j m
m
G g D e
a+-
-
-Ê
vi mi
m n p>+
.
Chui
0
:
n
jj
n
gg
Ơ
=
=
ồ
hi t trong
E
Â
, nờn ta t
01
01
: ( ) ( )
m
m n n n
j j j j j j j
n n m
F g q F G g g qj
Ơ
+
= = +
ớỹ
ùù
ùù
= + = - - -
ỡý
ùù
ùù
ợỵ
ồồ
oo
.
Ta cú
*
( 1)
11
1
0
2 (1 2 ) .
jjj
m m m
n
j m p m p
mp
n
e D e D e
aaa
j
Ơ
- + - -
-
+ + + +
++
=
Ê + Ê +
ồ
Ta nh ngha ỏnh x
: ( )Eja
Ơ
Ơ
đL
%
, xỏc nh bi
1
()
jj
xxjj
Ơ
=
=
, v
nhn c
1
1
1
(1 2 ) .
j
m
mp
j m p
m
j
x sup x e D x
a
jj
++
++
Ê Ê Ơ
= Ê +
T ú,
j
l ngc trỏi tame ca
i
.
1.2.1.4. H qu. Nu
E
cú tớnh cht
()DNDZ
v
()a
Ơ
L
l hch thỡ mi
dóy khp tame
0 ( ) 0EEa
Ơ
đ L đ đ đ
%
u ch tame.
1.2.1.5. Mnh . Gi s khụng gian Frechet phõn bc
E
l hch v cú tớnh
cht
()DNDZ
. Khi ú
E
l hch tame.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
10
Chng minh. Gi s
E
cú tớnh cht
()DNDZ
vi
0b =
. Ký hiu
0
kk
BU=
v ly
1.k p mÊ + Ê
Khi ú vi mi
0r >
ta cú
,,
1
.
k l p
k l k m l m
m k p
B c r B B
r
-+
ổử
ữ
ỗ
é+
ữ
ỗ
ữ
ốứ
Ly
FE
Â
é
l khụng gian con v
( , ; )
lm
d d B B F>
. Khi ú
,,
1
k l p
k l k m m
m k p
B c r d B F
r
-+
ổử
ữ
ỗ
é + +
ữ
ỗ
ữ
ốứ
vi mi
0r >
,
T ú
,,
1
( , ; ) ( , ; )
k l p
k m l k m l m
m k p
d B B F c r d B B F
r
-+
ổử
ữ
ỗ
Ê+
ữ
ỗ
ữ
ốứ
.
Ly minimum theo tt c
0r >
ta nhn c
1
,,
( , ; ) ( , ; )
m m k p
k m l k m l m
d B B F c d B B F
- - -
Ê
. (*)
Núi riờng, vi mi
1, k q pn
ta nhn c
,
( , ; ) ( , ; )
q q q p
k k q k k q k q
d B B F c d B B F
nn
n n n
+-
+ - +
Ê
,
( , ; ) ( , ; )
q p q p
k k q k k k q
c d B B F d B B F
nn
nn
-+
Ê
.
T ú suy ra vi mi
1, k q pn
ta cú
,
( , ; ) ( , ; )
qp
pq
k k q k k q k
d B B F c d B B F
n
nn
-
+
+-
Ê
(**)
Theo (*) vi mi
k q p
v
mp
ta cú
,
( , ; ) ( , ; )
k m q m p
k k m k m q k m
d B B F c d B B F
+ - -
++
Ê
,
( , ; ) ( , ; )
m p m p
k m q k k k m
c d B B F d B B F
+
Ê
.
Thờm na, vi mi
k q p
v
mp
ta cú
,
( , ; ) ( , ; )
mp
k q p
k k m k m q k
d B B F c d B B F
-
-+
+
Ê
(***)
T (**) v (***) vi
qp
,
3 3 ,k p q m p +
vi
:
k
q
n
ộự
ờỳ
=
ờỳ
ởỷ
ta nhn c
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
,,
( , ; ) ( , ; ) ( , ; )
m p m p
k q p k q p
k k m k m q k k m q q
d B B F c d B B F c d B B F
n
- + - +
+
ÊÊ
21
2
, 0 , 0
( , ; ) ( , ; )
m p k p q m p
k q p p q q p
k m q k m q
c d B B F c d B B F
- - - -
ìì
- + + +
ÊÊ
.
Ly infimum ca v trỏi theo tt c
FE
Â
é
vi
dimF nÊ
ta nhn c
22
,0
( , ) ( , )
mp
qp
n k k m k m n q
d B B c d B B
-
+
+
Ê
vi
qp
,
3 3 ,k p q m p +
.
S dng tớnh hch ca
E
ta chn
qp
vi
2
0
( , ) ( 1)
nq
d B B c n
-
Ê+
.
t
1
pq
e =
+
. Khi ú vi
0k
v
65m p q+
ta c
2 0 0
( , ) ( 1) ( , ) ( 1) ( , )
n n k m k n k k m
a k k m n d U U n d U U
++
+ Ê + Ê +
43
2 ( 6 5 )
,,
( 1) ( 1) ( 1)
m p q
pq
m p q
k m k m
c n n c n
e
ổử
ữ
ỗ
ữ
-
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
+
ố ứ - - -
Ê + + Ê +
.
1.2.2. c trng ca tớnh cht
()D N D Z
.
1.2.2.1. B [12 v 18]. Vi mi
0e >
tn ti dóy khp tame
0 ( ) 0s s s
e e e
đ đ đ đ
Ơ
1.2.2.2. nh lý. Nu
E
l khụng gian Frechet phõn bc
()e -
hch tame cú
tớnh cht
()DNDZ
thỡ
E
ng cu tame vi khụng gian con phõn bc ca
s
e
.
Chng minh.
Do b 1.2.2.1 tn ti dóy khp tame
00s E E
e
đ đ đ đ
%
vi khụng gian con phõn bc
E
%
ca
s
e
. p dng h qu 1.2.1.4 ta cú iu
phi chng minh.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét