Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết đa thế vị phức được phát triển từ những năm 80 của thế kỷ trước
dựa trên các công trình cơ bản của Bedford-Taylor, Siciak, Zahaziuta và nhiều
tác giả khác. Đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết này là hàm Green đa phức
hay hàm cực trị toàn cục. Hàm Green đa phức với những điểm kỳ dị hữu hạn đã
được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như M.Klimek, J.P. Demailly , E.A.
Poletsky, A. Zeriahi, ). Theo hướng này chúng tôi quan tâm đến hàm Green
đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic, hàm Green đa phức với
cực logarit tại vô cùng trên đa tạp con đại số và trên một đa tạp siêu lồi, đồng
thời sử dụng các kết quả đạt được cho việc xấp xỉ các hàm chỉnh hình. Vì thế
chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: “Hàm Green đa phức và xấp xỉ các hàm
chỉnh hình ”
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Trình bày các kết quả của Zeriahi về hàm Green đa phức và xấp xỉ các
hàm chỉnh hình.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu về:
- Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic.
- Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên đa tạp con đại số.
- Hàm Green đa phức với cực logarit trên đa tạp siêu lồi.
- Áp dụng các kết quả đạt được để xấp xỉ các hàm chỉnh hình.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
3. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, chúng tôi đã đọc tham khảo các tài
liệu trong và ngoài nước, tham khảo và học tập các chuyên gia cùng lĩnh vực
nghiên cứu. Đồng thời kế thừa các kết quả và phương pháp của M.Klimek, J.P.
Demailly , E.A. Poletsky, A. Zeriahi, để giải quyết các vấn đề đã nêu ra ở
trên.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội
dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số kết quả, những tính chất quan trọng nhất về
Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic. Đó là sự
khái quát hoá tự nhiên định nghĩa của hàm cực trị Siciak - Zahariuta trong
N
.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày nghiên cứu về hàm Green đa phức với cực logarit
tại vô cùng trên đa tạp con đại số và trên một đa tạp siêu lồi.
Trong chương 2, chúng tôi trình bày việc mở rộng một vài dạng cổ điển
của lý thuyết đa thế vị trong
N
cho trường hợp của đa tạp con đại số
X
của
N
. Chứng minh một vài bất đẳng thức đa thức đã biết giống như bất đẳng
thức Bernstein –Markov và sử dụng chúng để trình bày một phép chứng minh
mới tiêu chuẩn địa phương Sadullaev về tính đại số của đa tạp con giải tích.
Tiếp theo chúng tôi trình bày định lý Berstein- Walsh về xấp xỉ đa thức tốt nhất
của các hàm chỉnh hình trên một tập con compact không đa cực
K
của đa tạp
X
và sử dụng nó, cùng với bất đẳng thức Bernstein-Markov để nghiên cứu các
đa thức trực chuẩn. Đặc biệt, chúng tôi chứng minh rằng nếu
K
là tập compact
L -
chính qui, thì các đa thức trực chuẩn làm thành một cơ sở Schauder trong
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3
không gian các hàm chỉnh hình trên những miền mức con của hàm Green tương
ứng.
Phần cuối cùng của chương này, chúng tôi trình bày việc sử dụng hàm đa
phức Green với cực logarit đa trọng trên một đa tạp siêu lồi
D
để xây dựng hệ
trực chuẩn Bergman trong không gian trọng Bergman nào đó. Sau đó chúng tôi
chỉ ra rằng hệ Bergman này là một cơ sở Schauder thường trong không gian
( )
DO
và tất cả các không gian các hàm chỉnh hình trên những miền mức con
của hàm Green tương ứng. Hơn nữa, chúng tôi chỉ ra rằng hệ trực chuẩn này
cho một kết quả chính xác của phép xấp xỉ nội suy đối với các hàm chỉnh hình
trên
D
. Đặc biệt, chúng tôi nhận được một sự mở rộng cho trường hợp đa phức
về một kết quả cổ điển của Kadampata và Zahariuta.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
Chƣơng 1
HÀM GREEN ĐA PHỨC
Trong chương này chúng ta sẽ định nghĩa hai dạng hàm Green đa phức
và trình bày các tính chất quan trọng của chúng. Cụ thể là trình bày một vài kết
quả về hàm Green đa phức trên không gian Stein và hàm Green đa phức trên đa
tạp siêu lồi.
1.1. Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên không gian parabolic
1.1.1. Định nghĩa. Giả sử
K
là một tập con compact của
N
. Hàm
L
- cực
trị liên kết với
K
được định nghĩa bởi công thức sau:
(1.1)
( ) ( ) ( )
{ }
log sup ; , / 0 ,
n
KK
l z L z v z v v K z L
,
trong đó
( )
N
L
là lớp các hàm đa điều hoà dưới
u
trên
N
, sao cho
( )
{ }
sup log :v x x x
.
Hàm này được gọi là hàm
L
- cực trị Siciak-Zahariuta.
Bây giờ giả sử rằng
X
trong một đa tạp con giải tích bất khả qui của
N
có số chiều
n
và
K
là tập con compact không đa cực của
X
. Theo một Định
lí của Sadulaev, sẽ được nghiên cứu chi tiết hơn trong phần 2.3, chúng ta có
( )
K loc
L L X
nếu và chỉ nếu
X
là tập đại số.
Tất cả các không gian Stein được xét ở đây sẽ được giả thiết là bất khả
qui. Những hàm đa điều hoà dưới trên một không gian phức đã được nghiên
cứu và định nghĩa bởi J.P.Demailly ([Dm1]). Về định nghĩa của toán tử
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5
Monge-Ampère phức trên những không gian phức chúng tôi đã đề cập tới trong
([Dm1]). Nguyên lí cực đại ở đây đã được đưa ra bởi E. Bedford trong ([Bd] ).
Chúng ta chỉ đề cập hai dạng của hàm đa điều hoà dưới được xác định trên một
không gian giải tích phức.
1.1.2. Định nghĩa. Hàm
[ ]
:,uX
gọi là đa điều hoà dưới trên
không gian phức
X
nếu
u
là giới hạn địa phương của một hàm đa điều hoà
dưới trong một phép nhúng địa phương của
X
.
1.1.3. Định nghĩa. Hàm u gọi là đa điều hoà dưới yếu trên
X
nếu nó là đa điều
hoà dưới trên đa tạp phức của những điểm chính qui của
X
và bị chặn dưới
trong một lân cận của mỗi điểm đơn.
1.1.4. Định nghĩa. Không gian Stein
X
được gọi là parabolic nếu nó có một
dãy vét cạn các hàm đa điều hoà dưới liên tục
[ ]
:,gX
thoả mãn
phương trình Monge-Ampère phức thuần nhất, trừ một vài tập con compact của
X
theo nghĩa dòng, nghĩa là tồn tại
0
R
sao cho:
(1.2)
( )
0
n
c
dd g =
trên
( )
{ }
0
;x X g x R
.
Một hàm như vậy sẽ được gọi là thế vị parabolic trên
X
.
Giả sử
EX
, chúng ta kết hợp với E hàm cực trị sau:
(1.3)
( )
( )
( )
{ }
: sup ; , , / 0 ,
E
g X v x v X g v E x X L
Trong đó
( )
,XL g
là ký hiệu lớp hàm đa điều hoà dưới
v
trên
X
, sao cho
( ) ( )
{ }
sup ; .v x g x x X
+
Với tập con mở khác rỗng cố định
UX
, ta kết hợp mỗi tập con
EX
, dung lượng của nó đối với
U
, được xác định bởi công thức :
(1.4)
( ) ( )
( )
{ }
( )
; ; exp sup ; .
gE
cap E U cap E U g x x U
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6
Ví dụ 1. Giả sử
N
X =
, và định nghĩa
( ) ( )
log ,
n
g z l z z z
, trong
đó
z
là chuẩn trên
N
. Một cách địa phương trên
{ }
\0
N
, hàm
( )
lz
chỉ
phụ thuộc vào
( )
Nl-
biến gần với một hàm đa điều hoà. Khi đó nó thoả mãn
phương trình Monge-Ampère phức:
(1.5)
( )
0
N
c
dd l =
trên
{ }
\0
N
.
Điều này có nghĩa
l
là một thế vị parabolic trên
N
.
Khi đó hàm cực trị
E
g
kết hợp với thế vị parabolic
gl=
bởi công thức
(1.3) còn hàm cực trị Siciak-Zahariuta
E
l
định nghĩa theo (1.1) (xem định lý
1.2.1 phần sau). Chẳng hạn nếu
{ }
:;
N
r
B z z r
với
0r >
, thì dễ dàng
thấy rằng:
( )
( )
log / ,
r
N
B
l z z r z
+
.
Tổng quát hơn, nếu
g
là một thế vị parabolic trên một không gian Stein
X
, sử
dụng nguyên lí cực đại đối với toán tử Monge-Ampère phức, ta có tổng quát
hoá của công thức sau cùng: với
( )
{ }
: log
r
K x X g x r
thì
( ) ( )
( )
( ) ( )
{ }
0
log : max log ,0 , ,
Kr
g x g x r x g x r x X r R
+
.
Ví dụ 2. Nếu
X
là một không gian Stein và
:
N
Xp
là một ánh xạ chỉnh
hình thực sự thì hàm định nghĩa bởi
( ) ( )
log ,g x x x Xp
, là một thế vị
parabolic trên
X
, theo phương trình (1.5) và tính bất biến của phương trình
Monge-Ampère phức thuần nhất, như vậy
X
là một không gian Stein
parabolic. Bây giờ chúng ta nhắc lại các kết quả quan trọng sau:
1.1.5. Định lí. ([Zr]) Cho tập con
EX
, các điều kiện sau là tương đương:
(i)
E
là đa cực trong
X
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7
(ii)
E
g
*
, trên
X
.
(iii)
E
là
( )
,XgL
-cực, nghĩa là tồn tại
( )
,;v X g v L
sao cho
/vE
.
(iV)
( )
;0cap E U =
g
, với tập con mở nào đó
UX
.
Hơn nữa, nếu
E
là không đa cực trong
X
, thì
( )
,
E
g X g
*
L
.
1.1.6. Định nghĩa. Hàm
E
g
*
gọi là hàm Green đa phức của
E
với cực tại vô
cùng trên không gian parabolic
( )
,Xg
.
1.1.7. Định lí. ([Zr]) Giả sử
K
là một tập con compact không đa cực của
X
.
Khi đó các tính chất sau xảy ra :
()i
Tồn tại một hàm số
0g >
sao cho:
( ) ( ) ( )
,
K
g x g x g x x Xgg
+ * +
.
()ii
Phương trình Monge – Ampère phức xảy ra theo nghĩa dòng:
( )
0
n
c
K
dd g
*
=
trên
\XK
.
()iii
Độ đo cân bằng
( )
:
n
c
KK
dd gl
*
=
thoả mãn tính chất:
Nếu
BK
là tập borelian sao cho
( ) ( )
KK
BKll=
thì
BK
gg
**
trên
X
Tính chất
()iii
lần đầu tiên được chứng minh đối với độ đo cân bằng tương
đối trong ([Ng-Zr]), ở đó nó đã được sử dụng để khái quát hoá một vài bất đẳng
thức đa thức quan trọng giống như
*
()L
-điều kiện, đóng vai trò quan trọng trong
lý thuyết xấp xỉ.
1.2. Hàm Green đa phức với cực tại vô cùng trên đa tạp con đại số
Giả sử X là một đa tạp con đại số bất khả qui của
N
có số chiều
n
. Theo
tiêu chuẩn của Rudin và Sadullaev ([Rd],[Sd]), tồn tại một phép biến đổi đơn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
vị các toạ độ
:
NN
s
, sao cho tồn tại một hằng số
0c >
, với tính chất
sau:
(1.6)
( )
( )
( )
{ }
, : 1
N
X z z z z c zs
,
trong đó
( )
( )
11
, , ,
n n N
z z z z z z
+
==
.
Vì thế ánh xạ xác định bởi
( ) ( ) ( )
( )
1
: , ,
n
x x x x Xp s s
, là một ánh xạ chỉnh hình thực
sự, suy ra hàm:
(1.7)
( ) ( )
log ,g x x x Xp
,
là một vét cạn đa điều hoà dưới trên
X
. Theo phương trình (1.5) và tính bất
biến của phương trình thuần nhất Monge-Ampère dưới ánh xạ chỉnh hình suy
ra :
( )
0
n
c
dd g =
trên
{ }
( )
1
\0X p
-
Theo nghĩa dòng. Vì thế g là một thế vị parabolic trên
X
, theo (1.6) thoả mãn
ước lượng sau:
(1.8)
( )
log log ,c x g x c x x X
+ + +
,
trong đó c là hằng số dương nào đó.
Từ ước lượng (1.8), suy ra với bất kỳ
EX
, ta có bất đẳng thức sau :
( ) ( )
EE
l x g x x X
.
Ký hiệu
( )
AX
là đại số phân bậc các hàm đa thức trên
X
, có thể đồng
nhất với thương
[ ]
( )
1
, , /
N
z z I X
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
trong đó
( )
IX
là ideal đa thức của
X
. Với mỗi số nguyên dương
1d
, ta ký
hiệu
( )
d
AX
là không gian tuyến tính các hàm
( )
f A X
là hạn chế lên
X
của
đa thức trong
N
biến số phức có bậc không vượt quá
d
. Đặc biệt, hàm như thế
thỏa mãn
( )
( )
{ }
sup 1 ;
d
x f x x X
-
.
Khi đó ta có định lý sau:
1.2.1. Định lý. ([Zr]) Với bất kỳ tập con compact
KX
ta có :
( ) ( )
( )
{ }
1
sup log ; , 1, 1 ,
Kd
K
g x f x f X f d x X
d
A
.
Phác thảo chứng minh: Trước tiên ta sẽ chỉ ra rằng công thức sau về hàm cực trị
K
g
xảy ra:
( ) ( )
( )
{ }
sup ; , / 0 ,
Kc
g x v x v X v K x X L
,
trong đó
( )
c
XL
ký hiệu là lớp con các hàm liên tục của lớp
( ) ( )
,X X g=LL
.
Điều đó có thể thực hiện được bằng cách chứng minh rằng mỗi
( )
vX L
có
thể được xấp xỉ bởi một dãy giảm các hàm liên tục trong
( )
c
XL
(xem [Zr] bổ
đề 4.1).
Khi đó Định lý được suy ra từ Bổ đề xấp xỉ sau (xem [Zr], Bổ đề 5.2):
1.2.2.Bổ đề. Cho
( )
c
vX L
. Khi đó với bất kỳ tập con compact
EX
và
0e >
, tồn tại một dãy các số nguyên dương
1
, ,
m
dd
và một dãy các hàm đa
thức
1
, ,
m
ff
với
( )
j
jd
f A X
,
1, ,jm=
, sao cho:
( )
( )
1
1
sup log ( ) ,
j
jm
j
v x f x x E
d
vx
e
.
Chứng minh chi tiết hơn (xem [Zr]).
Kết quả này có một hệ quả thú vị, bây giờ chúng ta sẽ mô tả nó.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét