Đại số 10 Nâng cao - Elip

§4. ĐƯỜNG TRÒN
§4. ĐƯỜNG TRÒN
2 2
2 2
4 6 3 0 1
4 4 2
x y x y ( )
x y ( )
+ − + − =
+ =
Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn? Xác
định tâm và bán kính của nó (nếu có).
Bài cũ:
Bài cũ:
Trả lời:
Trả lời:
(1) Là phương trình đường tròn vì có:
( ) ( )
2
2 2 2
2 3 3 16 0a b c+ − = + − − − = >
Tâm I(2;-3), bán kính R=4.
(2) Không phải là phương trình đường tròn vì các hệ số của
x
2
và y
2
không bằng nhau.


§5. ĐƯỜNG ELIP
§5. ĐƯỜNG ELIP


§5. ĐƯỜNG ELIP
§5. ĐƯỜNG ELIP
1. Định nghĩa đường elip:
H1: Khi M thay đổi, chu vi của tam giác MF
1
F
2
như thế nào?
- Khi M thay đổi, chu vi của tam giác MF
1
F
2
là không thay đổi và
bằng chiều dài của sợi dây.
H2: Khi đó, tổng MF
1
+MF
2
có thay đổi hay không? Vì sao?
- Tổng MF
1
+MF
2
là không thay đổi vì MF
1
+ MF
2
= C
ΔMF
1
F
2
- F
1
F
2


§5. ĐƯỜNG ELIP
§5. ĐƯỜNG ELIP
1. Định nghĩa đường elip:
Cho hai điểm cố định F
1
và F
2
, với F
1
F
2
= 2c (c>0).
Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M sao cho
MF
1
+MF
2
=2a, trong đó a là số cho trước lớn hơn c.
Hai điểm F
1
và F
2
gọi là các tiêu điểm của elip.
Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip.
Định nghĩa:


§5. ĐƯỜNG ELIP
§5. ĐƯỜNG ELIP
2. Phương trình chính tắc của elip
x
y
(-c;0)
(c;0)
(x;y)
O


§5. ĐƯỜNG ELIP
§5. ĐƯỜNG ELIP
2. Phương trình chính tắc của elip
x
y
(-c;0)
(c;0)
(x;y)
O


§5. ĐƯỜNG ELIP
§5. ĐƯỜNG ELIP
2. Phương trình chính tắc của elip
x
y
(-c;0)
(c;0)
(x;y)
O
Giả sử M(x;y) ∈(E), khi đó ta có:
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2
2
1
0MF x c y x c y= − − + − = + +
2 2 2
2x cx c y= + + +
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2
2
0MF x c y x c y= − + − = − +
2 2 2
2x cx c y= − + +
2 2
1 2
4MF MF cx⇒ − =
( ) ( )
1 2 1 2
4MF MF MF MF cx⇔ − + =
( )
1 2
2 4MF MF a cx⇒ − =
1 2
2cx
MF MF
a
⇔ − =
Do:
1 2
2MF MF a+ =
(*)
(**)
Từ (*) và (**) ta có:
1
cx
MF a
a
= +
1
cx
MF a
a
= +
2
2
1
cx
MF a
a
 
⇒ = +
 ÷
 
2
2 2 2 2
2
1
c
x y a c
a
 
⇔ − + = −
 ÷
 
2 2
2 2 2
1
x y
a a c
⇔ + =
−
2 2
2 2
1 , 0
x y
a b
a b
+ = > >
Đây là phương trình chính tắc của elip.
và
2
cx
MF a
a
= −
Đặt:
2 2 2
b a c= −
,ta có:
Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho:
F
1
(-c;0), F
2
(c;0).


§5. ĐƯỜNG ELIP
§5. ĐƯỜNG ELIP
2. Phương trình chính tắc của elip
* Các đoạn MF
1
và MF
2
được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M.
1
2
cx
MF a
a
cx
MF a
a

= +




= −


Với điểm M(x;y) thì ta có:
Chú ý:
* Từ công thức:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
ta suy ra:
2
2 2
2
2 2 2
2
1
1
x
x a
a
y y b
b

≤


≤
 
⇒
 
≤



≤


a x a
b y b
− ≤ ≤

⇒

− ≤ ≤



§5. ĐƯỜNG ELIP
§5. ĐƯỜNG ELIP
2. Phương trình chính tắc của elip
Ví dụ 1:
Cho 3 điểm
( ) ( )
1 2
5;0 , 5;0F F−
( )
0;3 .I
và
a) Viết phương trình chính tắc của
elip có tiêu điểm là F
1
, F
2
và đi qua I.
b) Khi M chạy trên elip đó, khoảng
cách MF
1
có GTNN và GTLN bằng
bao nhiêu?
Giải
a) (E) có phương trình chính tắc là:
2 2
2 2
1 , a b 0
x y
a b
+ = > >
Vì I(0;3)∈(E) nên ta có:
2 2
2 2
0 3
1
a b
+ =
2
b 9⇒ =
Vì 2c=F
1
F
2
nên ta có:
2 2 5c =
5c⇒ =
2
5c⇒ =
Từ đó, suy ra:
2 2 2
9 5 14a b c= + = + =
Vậy phương trình chính tắc của (E)
là:
2 2
1
14 9
x y
+ =
Đáp số:
a)
2 2
1
14 9
x y
+ =


§5. ĐƯỜNG ELIP
§5. ĐƯỜNG ELIP
2. Phương trình chính tắc của elip
Ví dụ 1:
Cho 3 điểm
( ) ( )
1 2
5;0 , 5;0F F−
( )
0;3 .I
và
a) Viết phương trình chính tắc của
elip có tiêu điểm là F
1
, F
2
và đi qua I.
b) Khi M chạy trên elip đó, khoảng
cách MF
1
có GTNN và GTLN bằng
bao nhiêu?
Giải
b) Ta có:
Đáp số:
a)
2 2
1
14 9
x y
+ =
1
cx
MF a
a
= +
Mà:
a x a− ≤ ≤
1
ca ca
a MF a
a a
⇒ − ≤ ≤ +
1
a c MF a c⇒ − ≤ ≤ +
Vậy:
1min
14 5 khi MF a c x a= − = − = −
1max
14 5 khi MF a c x a= + = + =
b)
1min
14 5 khi MF a c x a= − = − = −
1max
14 5 khi MF a c x a= + = + =


§5. ĐƯỜNG ELIP
§5. ĐƯỜNG ELIP
2. Phương trình chính tắc của elip
Ví dụ 2:
Viết phương trình chính tắc
của elip đi qua hai điểm
( )
0;1M
và
3
1; .
2
N
 
 ÷
 ÷
 
Xác định tọa độ các tiêu
điểm của elip đó.
Giải
Phương trình chính tắc của elip (E)
có dạng:
2 2
2 2
1 , 0
x y
a b
a b
+ = > >
Vì ∈(E) nên ta có:
( )
0;1M
2 2
2
2 2
0 1
1 1b
a b
+ = ⇒ =
Vì ∈(E) nên ta có:
3
1;
2
N
 
 ÷
 ÷
 
2
2
2 2 2 2
3
2
1 1 3
1 1
4a b a b
 
 ÷
 
+ = ⇔ + =
2 2
1 3 3 1
1 1
4 4.1 4a b
⇔ = − = − =
2
4a⇒ =
Vậy elip cần tìm có phương trình chính
tắc là:
2 2
1
4 1
x y
+ =
Ta có:
2 2 2
4 1 3c a b= − = − =
Vậy các tiêu điểm của (E) là:
( )
1
3;0F −
và
( )
1
3;0F

Xem chi tiết: Đại số 10 Nâng cao - Elip