PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
ph ầ n 1 : HỆ TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG
1) Vectơ đơn vò của 2 trục tọa độ là
i
,
j
• O: gốc toạ độ
•
i
j
•
i
=
j
r
= 1
•
i
= (1, 0): vt đơn vò trên trục ox
•
j
= (0, 1): vt đơn vò trên trục oy
2) Tọa độ của vectơ:
a
= (a
1
, a
2
) ⇔
a
= a
1
i
+ a
2
j
TRONG KHƠNG GIAN
1) Vectơ đơn vò của 3 trục tọa độ là
i
,
j
,
k
•
i
j
,
j
k
,
k
i
(
i
,
j
,
k
đôi 1 vuông góc)
•
i
=
j
r
=
k
= 1
•
i
= (1, 0, 0): vt đơn vò trên trục ox
•
j
= (0, 1, 0): vt đơn vò trên trục oy
•
k
= (0, 0, 1): vt đơn vò trên trục oz
2) Tọa độ của vectơ:
a
= (a
1
, a
2
, a
3
) ⇔
a
= a
1
i
+ a
2
j
+ a
3
k
ph ầ n 2 : CƠNG THỨC LIÊN HỆ ĐẾN VECTƠ
1. Công thức về 1 vectơ :
a
r
= (a
1
, a
2
)
1)k.
a
r
= (ka
1
, ka
2
)
2)
a
r
=
3)
a
r
= 0
⇔
1
2
a 0
a 0
=
=
2. Công thức về 2 vectơ :
a
r
= (a
1
, a
2
)
b
r
= (b
1
, b
2
)
1)
a
r
b
r
= (a
1
b
1
, a
2
b
2
)
2)
a
r
=
b
r
⇔
3) m
a
r
+ n
b
r
= (ma
1
+ nb
1
, ma
2
+ nb
2
)
4)
a
r
cùng phương với
b
r
⇔
a
r
= k.
b
r
⇔ =
3. T ích vô hướng
ĐN:
a
r
.
b
r
=
a
r
.
b
r
.cos(
a
r
,
b
r
)
a
r
.
b
r
= a
1
.b
1
+ a
2
.b
2
a
r
b
r
⇔
a
r
.
b
r
= 0
4. Góc gi ư õa 2 vectơ
Cos (
a
r
,
b
r
) =
a.b
a . b
r r
r r
Để chứng minh 1 góc của tam giác là góc nhọn (tù)
ta cm cos của góc đó là dương (âm)
1. Công thức về 1 vectơ
a
= (a
1
, a
2
, a
3
)
1) k
a
= (ka
1
, ka
2
, ka
3
), k R
2)
a
=
2
3
2
2
2
1
aaa
++
3)
a
r
=
0
⇔
=
=
=
0a
0a
0a
3
2
1
2. Công thức về 2 vectơ
a
r
= (a
1
, a
2
, a
3
)
b
r
= (b
1
, b
2
, b
3
)
1)
a
r
b
r
= (a
1
b
1
, a
2
b
2
, a
3
b
3
)
2)
a
r
=
b
r
⇔
=
=
=
33
22
11
ba
ba
ba
3) m
a
r
+ n
b
r
= (ma
1
+ nb
1
, ma
2
+ nb
2
, ma
3
+ nb
3
)
4)
a
r
cùng phương với
b
r
⇔
a
r
= k.
b
r
⇔ = =
3
3
b
a
hay [
a
r
,
b
r
] =
0
3. T ích vô hướng
4. Góc giũa 2 vectơ
Tương tự như HHP
5. Tích có hướng
Tích có hướng của
a
và
b
, kí hiệu [
a
,
b
] hoặc
a b∧
r r
là vectơ có tọa độ
−
21
21
31
31
32
32
bb
aa
,
bb
aa
,
bb
aa
17
O
y
x
O
x
y
z
i
r
j
r
ph ầ n 3 : TỌA ĐỘ ĐIỂM
OM
= x
i
+ y
j
⇔ M(x, y)
• M ox ⇔ M(x, 0)
• M oy ⇔ M(0, y)
I. Công thức liên hệ 2 điểm : A (x
A;
y
A
)
B (x
B
; y
B
)
1.
AB
= (x
B
– x
A;
y
B
– y
A
)
2. AB =
22
)()(
ABAB
yyxxAB
−+−=
3. M mp (oxy) ⇔
OM
uuuur
= (x; y)
OM =
1) Toạ độ trung điểm:
M là trung điểm AB ⇔
2) M chia đoạn AB theo tỉ số k:
MA = kMB ⇔
*) L ư u ý : M, A, B phải đđúng thứ tự
II. Công thức liên hệ 3 điểm : A (x
A
;y
A
)
B (x
B;
y
B
)
C (x
C;
y
C
)
1) G là trọng tâm tam giác ABC
3
3
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
+ +
=
+ +
=
2) Diện tích tam giác
Nếu
1 2
1 2
( ; )
( ; )
AB a a
AC b b
=
=
uuur
uuur
thì S
ABC
=
21
21
2
1
bb
aa
=
2
1
a
1
b
2
– b
1
a
2
1 số công thức tính diện tích
1. S = a.h
a
= b.h
b
= c.h
c
2. S = b.c.sinA ;p =
2
a b c+ +
: nửa chu vi
3. S = p.r r: bk đtròn nội tiếp
4. S = R: bk đtròn ngoại tiếp
5. S =
))()(( cpbpapp
−−−
(cthức Hêrông)
3) Chứng minh 3 điểm thẳng hàng :
OM
= x
i
+ y
j
+ z
k
⇔ M(x, y, z)
M (oxy) => M(x, y, 0) M ox => M(x, 0, 0)
M (oyz) => M(0, y, z) M oy => M(0, y, 0
M (ozx) => M(x, 0, z) M oz => M(0, 0, z)
I. Công thức liên hệ 2 điểm: A(x
A
, y
A
, z
A
)
B(x
B
, y
B
, z
B
)
1)
AB
= (x
B
- x
A
, y
B
– y
A
, z
B
– z
A
)
2) AB =
2
AB
2
AB
2
AB
)zz()yy()xx(
−+−+−
3) Trung điểm M của AB
+
=
+
=
+
=
2
zz
z
2
yy
y
2
xx
x
BA
M
BA
M
BA
M
4) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k
ĐN:
MA
= k
MB
−
−
=
−
−
=
−
−
=
k1
kzz
z
k1
kyy
y
k1
kxx
x
BA
M
BA
M
BA
M
II. Công thức liên hệ 3 điểm A(x
A;
y
A
; z
A
)
B(x
B
; y
B
; z
B
)
C(x
C
; y
C
; z
C
)
G là trọng tâm tam giác ABC
3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
z z z
z
+ +
=
+ +
=
+ +
=
MỘT SỐ DẠNG TOÁN
1) Diện tích ABC
S
ABC
=
2
1
AB.AC.sinA =
2
1
[
AC,AB
]
2) Thể tích của 1 tứ diện
18
• 3 điểm A, B, C thẳng ⇔
AB
và
AC
cùng
phương ⇔
AB
= k
AC
, k R, k ≠ 1
⇔
1 2
1 2
a a
b b
=
(
AB
uuur
= (a
1
, a
2
);
AC
uuur
=(b
1
, b
2
))
• A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác ⇔
AB
và
AC
không cùng phương
V
ABCD
=
6
1
[
AC,AB
].
AD
=
1
S
3
đáy
.chiều cao
3) Thể tích hình hộp
V
ABCD.A’B’C’D’
= [
AD,AB
].
'AA
4) A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện ⇔ [
AC,AB
].
AD
≠ 0
5) AH là đường cao của tứ diện ABCD. Tọa độ
điểm H cho bởi
⊥
⊥
phẳngđồng:BH,BD,BC
BDAH
BCAH
⇔
=
=
=
0BH].BD,BC[
0BD.AH
0BC.AH
6) Tâm I và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD cho bởi
=
=
=
22
22
22
IDIA
ICIA
IBIA
R = IA
MẶT PHẲNG
I. Vectơ pháp tuyến (vtpt)
Vectơ
n
≠
0
được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α ) nếu
n
có giá vuông góc với (α ).
*) Chú ý: Nếu
n
là vtpt của (α ) thì k
n
cũng là vtpt của (
α
)
II. Phương trình mặt phẳng
1) Phương trình tồng quát
Phương trình mp qua M(x
0
, y
0
, z
0
) và có vtpt
n
= (A, B, C) là:
A(x – x
0
) + B(y – y
0
) + C (z – z
0
)= 0
Phương trình tổng quát của mp là: Ax + By + Cz + D = 0
=
+ + ≠
r
2 2 2
( , , )
0
Vtpt n A B C
A B C
2) Phương trình theo đoạn chắn
Nếu (α) cắt ox, oy, oz lần lượt tại A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) thì phương trình mp qua A, B, C là
1
c
z
b
y
a
x
=++
phương trình này gọi là phương trình theo đoạn chắn
3) Các trường hợp riêng
Trong Không gian oxyz mp (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0
19
α
n
r
Mặt phẳng (α ) Phương trình
Qua gốc tọa độ Ax + By + Cz = 0 (D = 0)
Song song ox hay vuông góc (oyz) By + Cz + D = 0
Qua (chứa) ox By + Cz = 0
Song song oy hay vuông góc (oxz) Ax + Cz + D = 0
Qua (chứa) oy Ax + Cz = 0
Song song oz hay vuông góc (xoy) Ax + By + D = 0
Qua (chứa) oz Ax + By = 0
Vuông góc oz hay song song (xoy) Cz + D = 0
Trùng (oxy) z = 0
Vuông góc ox hay song song (oyz) Ax + D = 0
Trùng (oyz) x = 0
Vuông góc oy hay song song (oxz) By + D = 0
Trùng (oxz) y = 0
III. Vò trí tương đối giữa 2 mặt phẳng
Cho mặt phẳng (α
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
(α
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
1) (α
1
) // (α
2
) ⇔
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
≠==
2) (α
1
) (α
2
) ⇔
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
===
3) (α
1
) cắt (α
2
) ⇔ A
1
: B
1
: C
1
≠ A
2
: B
2
: C
2
4) (α
1
) (α
2
) ⇔ A
1
A
2
+ B
1
B
2
+ C
1
C
2
= 0 (2 mặt phẳng này có 2 vtpt vuông góc nhau)
IV. Vấn đề liên quan đến phương trình mặt phẳng
1) Nguyên tắc chung để viết phương trình mặt phẳng
- Tìm 1 điểm M và 1 vtpt
- Tìm 1 điểm M và 1 cặp vtcp (
a
,
b
) = > vtpt
n
= [
a
,
b
]
2) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
(α )
=
ABnVtpt
ABthẳngđoạncủaIđiểmtrungQua
3) Chứng minh rằng: ABCD là tứ diện
B
1
: viết phương trình (ABC)
B
2
: Thế tọa độ của điểm D vào phương trình (ABC)
• Nếu tọa độ điểm D nghiệm đúng phương trình (ABC) => ABCD không là tứ diện
• Nếu tọa độ điểm D không nghiệm đúng phương trình (ABC) => ABCD là tứ diện
V. Một số cách tìm vtpt của mặt phẳng ( α )
1) (α ) AB =>
α
n
=
AB
2) (α ) // (): Ax + By + Cz + D = 0 = >
α
n
=
β
n
= (A, B, C)
3) (α) có cặp vtcp
a
,
b
=>
α
n
= [
a
,
b
]
4) (α ) qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng => (α ) có cặp vtcp là
AB
,
AC
=>
α
n
= [
AB
,
AC
]
5) (α ) qua 2 điểm A, B và vuông góc () =>
α
n
= [
AB
,
β
n
]
6) (α ) qua M và chứa đường thẳng (d) => (α ) có cặp vtcp là
0
MM
(M
0
d) và
d
a
=>
α
n
= [
0
MM
,
d
a
]
7) (α ) qua M và chứa trục ox => (α ) có cặp vtcp là
OM
và
i
= (1, 0, 0) =>
α
n
= [
OM
,
i
]
20
8)
β⊥α
α
)()(
ox//)(
=> (α ) có cặp vtcp là
i
= (1, 0, 0) và
β
n
=>
α
n
= [
i
,
β
n
]
9) (α )
=+++
=+++
0DzCyBxA:)P(
0DzCyBxA:)P(
22222
11111
=> (α ) có cặp vtcp là
=
=
)C,B,A(n
)C,B,A(n
2222
1111
= >
α
n
= [
1
n
,
2
n
]
Vấn đề 5 ĐƯỜNG THẲNG
I. Phương trình của đường thẳng
Qua điểm Vtcp Phương trình Ghi chú
Đường thẳng M(x
0
, y
0
, z
0
)
)a,a,a(a
321
=
1 ) Phương trình tham số
+=
+=
+=
tazz
tayy
taxx
30
20
10
(t R)
2) Phương trình chính tắc
3
0
2
0
1
0
a
zz
a
yy
a
xx
−
=
−
=
−
Trong phương trình chính
tắc nếu mẫu số bằng 0 ta
vẫn viết ptct như dạng
bên với qui ước tử số cũng
bằng 0
I. Cách tìm vtcp của đường thẳng
a) qua 2 điểm A, B =>
∆
a
=
AB
b) // ’=>
∆
a
=
'
a
∆
c) mp(α) =>
∆
a
=
α
n
d)
'd
d
=>
∆
a
= [
d
a
,
'd
a
]
VỊ TRÍ TNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG
I. Vò trí tương đối giữa 2 đường thẳng
Cho 2 đường thẳng (d
1
)
1
1
avtcpCó
MđiểmQua
(d
2
)
2
2
avtcpCó
MđiểmQua
1) d
1
và d
2
đồng phẳng ⇔ [
1
a
,
2
a
].
21
MM
= 0
2) d
1
cắt d
2
⇔
=
phươngcùngkhôngavàa
0MM].a,a[
21
2121
3) d
1
// d
2
⇔
211
21
MMphươngcùngkhônga
aphươngcùnga
4) d
1
d
2
⇔
211
21
MMphươngcùnga
aphươngcùnga
5) d
1
chéo d
2
⇔ [
1
a
,
2
a
].
21
MM
≠ 0
6) d
1
d
2
⇔
1
a
.
2
a
= 0
*) Phương pháp xét vò trí tương đối giữa 2 đường thẳng
B
1
: - Tìm điểm M
1
d
1
và vtcp
1
a
21
- Tìm điểm M
2
d
2
và vtcp
2
a
B
2
: Tính [
1
a
,
2
a
] = ?
- Nếu [
1
a
,
2
a
] =
0
nghóa là d
1
và d
2
cùng phương ta đem tọa độ của điểm M
1
thế vào phương trình d
2
• Nếu M
1
thuộc d
2
thì d
1
d
2
• Nếu M
1
không thuộc d
2
thì d
1
// d
2
- Nếu [
1
a
,
2
a
] ≠
0
nghóa làø d
1
và d
2
không cùng phương ta tính [
1
a
,
2
a
].
21
MM
= ?
• Nếu [
1
a
,
2
a
].
21
MM
= 0 => d
1
cắt d
2
(nghóa là d
1
và d
2
đồng phẳng)
• Nếu [
1
a
,
2
a
].
21
MM
≠ 0 => d
1
và d
2
chéo nhau (nghóa là d
1
và d
2
không đồng phẳng)
II. Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d
avtcpCó
MQua
mặt phẳng (α) có vtpt
n
*) Phương pháp 1
*) Phương pháp 2
Giải hệ phương trình gồm phương trình của d và phương trình của (α)
• Hệ có 1 nghiệm: d cắt (α)
• Hệ có vô số nghiệm: d
⊂
(α)
• Hệ vô nghiệm : d // (α)
22
[,]
=
, tính [,] .
M
1
d
2
: d
1
d
2
M
1
d
2
: d
1
// d
2
= 0: d
1
cắt d
2
0: d
1
và d
2
chéo nhau
.
0: d cắt ()
= 0
M
() : d ()
M
(): d // ()
HÌNH CHIẾU
Điềm Chiếu lên là điểm
Ox (x, 0, 0)
Oy (0, y, 0)
Oz (0, 0, z)
mp(oxy) M
1
(x, y, 0)
mp(oxz) M
2
(x, 0, z)
mp(oyz) M
3
(0, y, z)
1) Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng(α )
Gọi H Ch
M/(
α
)
B
1
: Lập phương trình tham số của đường thẳng MH qua M và vuông góc (α )
MH
=
α
na
MQua
AH
B2: H = MH
∩
(α ) (bằng cách giải hệ phương trình MH và (α ))
2) Hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng
Gọi H ch
M/
B
1
: Vết phương trình mặt phẳng(α ) qua M và vuông góc (
α∆
=
na
)
B
2
: Tm H =
∩
(α )
3) Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng(α ) (
∆
không vuông góc với (
α
))
Gọi ’ ch
/(
α
)
qua M và có vtcp
a
B
1
: Tìm I =
∩
(α ) (tìm giao điểm của (
α
) và
∆
)
B2: Tìm H
≡
CH
M / (
α
)
B3: Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm I, H chính là pt ’
SỰ ĐỐI XỨNG
1) Tọa độ điểm đối xứng
Điềm
Đối xứng qua
Tọa độ
điểm M’
Ox (x, -y, -z)
Oy (-x, y, -z)
Oz (-y, -x, z)
mp(oxy) (x, y, -z)
mp(oxz) (x, -y, z)
mp(oyz) (-x, y, z)
Gốc tọa độ (-x, -y, -z)
Ghi chú: ta cũng nhận được kết quả tương tự khi xét sự đối xứng của 2 vectơ qua trục tọa độ, mặt
phẳng tọa độ và gốc tọa độ
2) Tìm điểm đối xứng M’ của M qua I
I là trung điểm của MM’ nên
−=
−=
−=
MI'M
MI'M
MI'M
zz2z
yy2y
xx2x
3) Tìm điểm đối xứng M’ của M qua mặt phẳng (α )
• Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên mặt phẳng (α )
• H là trung điểm của MM’=> tọa độ điểm M’?
α)
M
H
n
α
α)
M
/
M
H
H
α)
a
r
M
α
M
H
M’
4) Tìm điểm đối xứng M’ của M qua đường thẳng
• Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên
• H là trung điểm MM’=> tọa độ điểm M’?
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1) Vò trí tương đối của 2 điểm A, B so với (α ): Ax + By + Cz + D = 0
Đặt F(x, y, z ) = Ax + By + Cz + D
Tính T = F(A). F(B)
- Nếu T > 0 => A, B ở 1 phía của (α )
- Nếu T < 0 => A, B ở 2 phía của (α )
2) Quan hệ 3 điểm M, A, B
a) MA + MB AB
Dấu “=” xảy ra ⇔ A, B, M thẳng hàng
=> min (MA + MB) = AB ⇔
ABtrongởM
hàngthẳngB,A,M
b) MA - MB ≤ AB
Dấu “=” xảy ra ⇔ A, B, M thẳng hàng
=> maxMA - MB = AB ⇔
ABngoàiởM
hàngthẳngB,A,M
3) Tìm điểm M trên đường thẳng sao cho MA + MB nhỏ nhất
a) A và B ở một phía đối với
Ta có MA + MB AB (cố đònh)
Vậy min (MA + MB) = AB ⇔ M M
0
( M
0
là giao điểm của AB và )
b) A và B ở hai phía đối với
B
1
: tìm A’ đối xứng của A qua
B
2
: MA + MB = MA’ + MB A’B (cố đònh)
Vậy min(MA + MB) = A’B ⇔ M M
0
( M
0
là giao điểm của A’B và )
Chú ý : nếu ta thay đường thẳng bằng mặt phẳng (α ) thì cách giải không có gì thay đổi
CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
STT Bài toán Hình vẽ Cách giải
1 Viết phương
trình đường
thẳng đi qua
điểm M và cắt
B
1
: - Gọi M
1
(toạ độ có chứa tham số t)
1
- M
2
(toạ độ có chứa tham số t’)
2
B
2
:
1
MM
uuuuur
và
2
MM
uuuuur
cùng phương => t => M
1
A
A
B
B
1
α
2
α
1
2
d
H
A
B
M
M
0
A
B
M
M
0
1
α
2
α
1
2
M
M
1
M
2
2 đường thẳng
1
,
2
B
3
: Viết phương trình MM
1
chính là phương trình
đường thẳng
2
Viết phương
trình đường
thẳng song
song với d và
cắt cả
1
và
2
B
1
: - Gọi M
1
(toạ độ có chứa tham số t)
1
- M
2
(toạ độ có chứa tham số t’)
2
B
2
:
1 2
M M
uuuuuur
và
d
a
uur
cùng phương => t, t’ => M
1
, M
2
B
3
: Viết phương trình M
1
M
2
chính là phương trình
đường thẳng
3
Viết phương
trình đường
thẳng đi qua
điểm M vuông
góc và cắt
đường thẳng d
Phương pháp 1
B
1
: Gọi N (toạ độ có chứa tham số t)
∈
d
B
2
: MN
⊥
d
⇔
.
d
MN a
uuuur uur
= 0 => t => M
Phương trình chính là phương trình MN
Phương pháp 2
B
1
: Viết ptrình mặt phẳng(α ) qua M và vuông góc d
B
2
: Tìm H = (α )
∩
d
B
3
: phương trình là phương trình đường MH
4
Viết phương
trình đường
thẳng đi qua
điểm M vuông
góc với đường
thẳng
1
và cắt
đthẳng
2
B
1
: Viết phương trình mặt phẳng(α ) qua M và vuông
góc
1
B
2
: Tìm N = (α )
∩
(
2
)
B
3
: phương trình là phương trình đường MN
5
Viết phương
trình đường
thẳng nằm
trong mặt
phẳng α và cắt
cả 2 đường
thẳng
1
,
2
B
1
: Tìm M
1
=
1
∩
(α )
B
2
: Tìm M
2
=
2
∩
(α )
B
3
: là đường thẳng M
1
M
2
7
Viết pt đường
thẳng nằm
trong mp(α ),
qua giao điểm
A của d và α ,
vuông góc d
B
1
: Tìm điểm A =
∩
(α )
B
2
:
qua A
vtcp a ,
d
Có n a
α
=
r uur uur
Vấn đề 10 MẶT CẦU
1) Phương trình mặt cầu
Dạng Phương trình Tâm Bán kính
1 (x - a)
2
+ (y – b)
2
+ (z – c)
2
= R
2
I(a, b, c) R
2 x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (1)
I(-A, -B, -C)
R =
+ + −
2 2 2
A B C D
ĐB x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
O(0, 0, 0) R
(1) là phương trình mặt cầu ⇔ A
2
+ B
2
+ C
2
– D > 0
2) Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Trong kg Oxyz cho mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c), bán kính R và mặt phẳng (α ): Ax + By +Cz + D = 0
2
a
uur
1
M
M
2
2
α
1
α
2
α
A
d
M
1
1
α
2
M
2
M
d
ra
α
ra
N
Ta có d(I, α ) =
222
CBA
DCcBbAa
++
+++
a) d > R: (α ) không có điểm chung với (S)
b) d = R: (α ) tiếp xúc (S). Tiếp điểm là hình chiếu H của điểm I lên mặt phẳng (α ) và (α ) gọi là
tiếp diện của mặt cầu
c) d < R: (α ) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn (C) có
−=
≡
α
22
)/(I
IHRrkínhBán
ChHTâm
với IH = d
Phương trình đường tròn (C)
α
)S(cầumặttrìnhPhương
)(mptrìnhPhương
3) Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Muốn tìm vò trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu (S) ta thế x, y, z trong phương trình tham số của
vào phương trình mặt cầu (S) ta sẽ được phương trình bậc 2 ần là t
a) Nếu phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì cắt (S) tại 2 điểm
b) Nếu phương trình có nghiệm kép thì tiếp xúc (S)
c) Nếu phương trình vô nghiệm thì và (S) không có điểm chung
4) Vò trí tương đối của điểm và mặt cầu
Cho điểm A và mặt cầu (S) tâm I, bán kính R
a) IA > R: điểm A nằm ngoài mặt cầu (S)
b) IA = R: điểm A nằm trên mặt cầu (S)
c) IA < R: điểm A nằm trong mặt cầu (S)
*) phương trình mặt cầu đường kính AB: (x – x
A
)(x – x
B
) + (y – y
A
)(y – y
B
) + (z – z
A
)(z – z
B
) = 0
MẶT PHẲNG TIẾP DIỆN
(α ): Ax + By + Cz + D = 0, (α ) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I, α ) = R
BÀI TẬP 1: chứng minh rằng mặt phẳng(α ) tiếp xúc mặt cầu (S). Tìm tọa độ tiếp điểm T
Giải
• Tìm tâm I và tính bán kính R của mặt cầu (S)
• (α ) tiếp xúc (S) ⇔ d(I, α ) = R
• Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc (α )
• Tọa độ tiếp điểm T = (d)
∩
(α )
BÀI TẬP 2: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại điểm M
0
• Tìm tâm I của mặt cầu (S)
• Phương trình tiếp diện (α ) của mặt cầu (S)
(α )
=
α
0
0
IMn
MQua
BÀI TẬP 3 : Cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu (S). Viết phương trình (
α
) tiếp xúc với mặt cầu
(S) và song song với (P)
Giải
• Tìm tâm I và bán kính r của mặt cầu (S)
• (
α
) // (P) nên Phương trình (
α
) có dạng: Ax + By + Cz + D’ = 0 (1) (D’
≠
D)
• (
α
) tiếp xúc (S)
⇔
d(I, (
α
)) = r => D’ . Thế vào (1) => Phương trình (
α
)
Các dạng tốn thường gặp
Bài tốn 1: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (
α
) và (
β
)
Bài tốn 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và (
α
)
• TH1 : Trong (
α
) có sẵn d’ cắt d tại I thì I = d
∩
(
α
)
• TH2 : Trong (
α
) khơng có sẵn d’ cắt d. Khi đó ta thực hiện như sau:
- Chọn (
β
)
⊃
d
- Tìm giao tuyến d’ = (
α
)
∩
(
β
)
- Khi đó d
∩
d’ = I
=> I = d
∩
(
α
)
Quan hệ song song
Bài tốn 3: Chứng minh đường thẳng d song song với (
α
)
• Cách 1 : Ta chứng minh đường thẳng d song song với đường thẳng d’ nào đó nằm trong (
α
)
// '
//( )
' ( )
d d
d
d
α
α
=>
⊂
• Cách 2 : Chứng minh d nằm trong (
β
) mà (
β
) song song với (
α
)
( )
// ( )
( )//( )
d
d
β
α
β α
⊂
=>
Bài tốn 4: Chứng minh 2 mặt phẳng song song nhau
• Cách 1 : Ta chứng minh mặt phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt nhau cùng song song với mp kia
( ), ( )
cắt b ( ) //( )
a // ( ), b // ( )
a b
a
α α
α β
β β
⊂ ⊂
=>
• Cách 2 : Ta chứng minh chúng cùng song song với mặt phẳng thứ ba
QUAN HỆ VNG GĨC
Bài tốn 5: Chứng minh đường thẳng d vng góc với (
α
)
Muốn chứng minh đường thẳng d vng góc với (
α
), ta có thể sử dụng một trong các cách sau
1
Cách 1: Ta chứng minh đường
thẳng d vng góc với 2 đường
thẳng cắt nhau nằm trong (
α
)
2
Cách 2: Chứng minh d song
song với 1 đường thẳng a mà a
⊥
(
α
)
3 Cách 3: Chứng minh d là giao
tuyến của 2 mp cùng vng góc
Tìm điểm chung S
của () và ()
Nếu trong () và () chứa 2
đường thẳng cắt nhau
a b = I
Nếu trong () và () chứa 2
đường thẳng
a // b
() () = d
() () = SI
với (
α
)
4
Cách 4:
Tìm (
β
) chứa d và vng góc
với (
α
)
Chứng minh d vng góc với
giao tuyến của (
α
) và (
β
)
Bài tốn 6: Chứng minh 2 mặt phẳng (
α
) và (
β
) vng góc
Muốn chứng minh 2 mp vng góc ta chứng minh mp này có chứa 1 đường thẳng vng góc với mp kia
( )
( ) ( )
( )
a
a
α
α β
β
⊥
=> ⊥
⊂
THIẾT DIỆN
*) Thiết diện của (
α
) và khối đa điện (H) là một đa giác có các cạnh là các đoạn giao tuyến của (
α
) và các
mặt của khối đa diện
*) Tìm thiết diện của (
α
) và khối đa diện (H) là tìm các đoạn giao tuyến của (
α
) với các mặt của (H)
Thơng thường ta làm như sau:
- Nối 2 điểm của (
α
) cùng thuộc 1 mp nào đó của (H) ta được đường thẳng d
- Tìm giao tuyến của d với các cạnh của (H)
- Cứ tiếp tục cho đến khi xác định được các đoạn giao tuyến của (
α
) với các mặt của (H)
- Nối các đoạn giao tuyến đó lại ta được đa giác là thiết diện
Bài tốn 1: xác định thiết diện tạo bởi (
α
) và hình chóp khi biết (
α
) song song với 1 cạnh nào đó của hình
chóp
Ta thường dùng định lí sau
//( )
( ) '//
( ) ( ) '
d
d d d
d
α
β
α β
⊂ =>
∩ =
Bài tốn 2: Xác định thiết diện tạo bởi (
α
) và hình chóp khi biết (
α
) song song với 1 mặt nào đó của hình
chóp
• (
α
) song song với (
β
) thì (
α
) sẽ song song với mọi đường thẳng nằm trong (
β
)
• Trở về bài tốn tìm thiết diện song song với 1 cạnh
XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP
1
Hình chóp có các đỉnh cùng nhìn các
đỉnh còn lại dưới 1 góc vng
Cụ thể
·
·
SAC SBC=
= 1v
Mặt cầu có
Tâm là trung điểm SC
SC
Bán kính r =
2
2 Loại 2: Hình chóp có các cạnh bên bằng
nhau
Xác định tâm I của mặt cầu
S
A
B
C
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét