Chương III - Bài 3: Phương trình đường elip

Đ3.
phương trinh đường elíp
Quỹ đạo elíp trong hệ mặt trời



Cách vẽ elíp
Cách vẽ elíp
F
1
F
2
M

Đ3.
phương trinh đường elíp
Cho hai điểm cố định F
1
, F
2
với F
1
F
2
= 2c >0.
Elíp là tập hợp các điểm M sao cho :
F
1
M + F
2
M = 2a.
Trong đó a là số cho trước lớn hơn c.
* Các điểm F
1
, F
2
gọi là các tiêu điểm của
elíp.
* Khoảng cách 2c gọi là tiêu cự của elíp.
* Các đoạn thẳng MF
1
, MF
2
được gọi là bán
kính qua tiêu của điểm M.
1/ Định nghĩa đường elíp :
F
1
F
2
M

2.Phương trình chính tắc của elíp:
F
1
F
2
M(x;y)
y
x
0
Cho Elíp (E) có các tiêu điểm F
1
, F
2
.
Điểm M(x;y) thuộc (E)
khi và chỉ khi


* Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F
1
(-c;0), F
2
(c;0)
* Xây dựng phương trình của (E)
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
Trong đó :
222
cab =
MF
1
+MF
2
=2a.
Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elíp
Khi và chỉ khi :
Và a> b > 0
* Chọn hệ trục tọa độ Oxy
MF
1
=
a
cx
a +
a
cx
a
; MF
2
=
(1)

Ví dụ 1


Cho elíp (E) :
Cho elíp (E) :
a/ Hãy xác định tọa độ các tiêu điểm và
a/ Hãy xác định tọa độ các tiêu điểm và
tính tiêu cự của (E).
tính tiêu cự của (E).
b/ Trên (E) tìm tọa độ các điểm M sao cho
b/ Trên (E) tìm tọa độ các điểm M sao cho
khoảng cách từ M đến tiêu điểm F
khoảng cách từ M đến tiêu điểm F
1
1
bằng
bằng
hai lần khoảng cách từ M đến tiêu điểm
hai lần khoảng cách từ M đến tiêu điểm
F
F
2.
2.


1
1625
22
=+
yx

Giải


. Do đó tọa độ các
. Do đó tọa độ các
tiêu điểm của (E) là
tiêu điểm của (E) là
F
F
1
1
; F
; F
2
2


5
4
5
x
a
cx
a +=+
; MF
2
=
5
4
5
x
a
cx
a =
MF
1
=2MF
2

=+ )
5
4
5(2
5
4
5
xx
12
25
=x
Thay x vào pt của (E) ta suy ra :
y=
3
119
; y=-
3
119
.Vậy
a/ Từ PT chính tắc của (E) suy ra :
a/ Từ PT chính tắc của (E) suy ra :
a
a
2
2
= ;b
= ;b
2
2
=
=
25 16
suy ra
suy ra
c
c
2
2
=
=
25-16=9
25-16=9
; suy ra
; suy ra
c=3
c=3
b/ Gọi M(x;y) thuộc (E), ta có :
b/ Gọi M(x;y) thuộc (E), ta có :
MF
1
=


)
3
119
;
12
25
(M
)
3
119
;
12
25
(; M
(-3;0) (3;0)
6
Tiêu cự của (E) là : 2c=

Ví dụ 2
Cho elip (E) i qua 2 i m M( 0;1) v N( 1; ) .
Vi t phương trình chính tắc của elíp (E).
2
3
Giải
Phương trình chính tắc của
elíp (E) có dạng:
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
Thay tọa độ các điểm M, N vào phương trình trên. Từ
đó suy ra a
2
=4 và b
2
=1.
Vậy (E) có phương trình chính tắc là :
1
14
22
=+
yx

3/ Hình dạng của elíp
* (E) cắt trục Ox tại A
* (E) cắt trục Ox tại A
1
1
(-a;0) ; A
(-a;0) ; A
2
2
(a;0) và cắt trục Oy
(a;0) và cắt trục Oy
tại B
tại B
1
1
(0;-b); B
(0;-b); B
2
2
(0;b).
(0;b).
Các điểm A
Các điểm A
1
1
, A
, A
2
2
, B
, B
1
1
, B
, B
2
2
gọi là các đỉnh của
gọi là các đỉnh của
(E).
(E).


Đoạn thẳng A
Đoạn thẳng A
1
1
A
A
2
2
=2a gọi là trục lớn , đoạn thẳng
=2a gọi là trục lớn , đoạn thẳng
B
B
1
1
B
B
2
2
=2b gọi là trục nhỏ của (E).
=2b gọi là trục nhỏ của (E).
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
Xét elíp (E) có phương trình :
* (E) có các trục đối xứng là
Ox, Oy và có tâm đối xứng là
gốc O.
y
x
0A
1
A
2
-a a
b B
2

-b B
1
a/ Tính đối xứng


b/
b/
Tâm sai của elíp :
Tâm sai của elíp :
*/ Định nghĩa : Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn
của elíp gọi là tâm sai của elíp.
Kí hiệu là : e = c/a
*/ Chú ý : 0 < e < 1
*/ Ví dụ 1: (Trang 101-SGK)

Ví dụ 2:


a/ Hãy xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ các
a/ Hãy xác định tọa độ các đỉnh, tọa độ các
tiêu điểm của (E)
tiêu điểm của (E)
b/ Tính độ dài các trục, tiêu cự va tam sai
b/ Tính độ dài các trục, tiêu cự va tam sai
của (E).
của (E).


1
1625
22
=+
yx
Cho elíp (E) :
Cho elíp (E) :

Giải

Từ phương trình
Từ phương trình
1
1625
22
=+
yx
Ta suy ra :
a
2
=
b
2
=
25.
16.
Suy ra a=
Suy ra b=
5
4.
Từ đó ta có : c
2
=

a
2
- b
2
= 25-16 = 9.
Suy ra c = 3
a/ Tọa độ các đỉnh của elíp là :
A
1
(-5;0) , A
2
(5;0) , B
1
(0;-4) , B
2
(0;4)
Tọa độ các tiêu điểm của elíp là :
F
1
(-3;0), F
2
(3;0)

Xem chi tiết: Chương III - Bài 3: Phương trình đường elip