x
1
< x
2
< 0 ⇔
<
>
>∆
0S
0P
0
* Dùng ∆, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x
1
< α < x
2
⇔ af(α) < 0
α < x
1
< x
2
⇔
<α
>α
>∆
2/S
0)(f.a
0
; x
1
< x
2
< α ⇔
α<
>α
>∆
2/S
0)(f.a
0
α < x
1
< β < x
2
⇔
a.f( ) 0
a.f( ) 0
β <
α >
α < β
; x
1
< α < x
2
< β ⇔
β<α
>β
<α
0)(f.a
0)(f.a
7. Phương trình bậc 3 :
a. Viête : ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
x
1
+ x
2
+ x
3
= – b/a , x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
= c/a , x
1
.x
2
.x
3
= – d/a
Biết x
1
+ x
2
+ x
3
= A , x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
= B , x
1
.x
2
.x
3
= C
thì x
1
, x
2
, x
3
là 3 nghiệm phương trình : x
3
– Ax
2
+ Bx – C = 0
b. Số nghiệm phương trình bậc 3 :
• x = α ∨ f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) :
3 nghiệm phân biệt ⇔
≠α
>∆
0)(f
0
2 nghiệm phân biệt ⇔
≠α
=∆
∨
=α
>∆
0)(f
0
0)(f
0
1 nghiệm ⇔
( )
∆
∆
α
= 0
< 0hay
f = 0
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương
giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m.
• Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự
tương giao giữa (C
m
) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0
3 nghiệm ⇔
<
>∆
0y.y
0
CTCĐ
'y
2 nghiệm ⇔
=
>∆
0y.y
0
CTCĐ
'y
1 nghiệm ⇔ ∆
y'
≤ 0 ∨
>
>∆
0y.y
0
CTCĐ
'y
c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC :
⇔
=
>∆
0y
0
uốn
'y
d. So sánh nghiệm với α :
TRANG 5
• x = x
o
∨ f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với
α.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C)
và y = m: (d) , đưa α vào BBT.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của (C
m
) :
y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox)
α < x
1
< x
2
< x
3
⇔
y'
CĐ CT
CĐ
0
y .y 0
y( ) 0
x
∆ >
<
α <
α <
x
1
< α < x
2
< x
3
⇔
<α
>α
<
>∆
CT
CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0
x
1
< x
2
< α < x
3
⇔
α<
<α
<
>∆
CĐ
CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0
x
1
< x
2
< x
3
< α ⇔
y'
CĐ CT
CT
0
y .y 0
y( ) 0
x
∆ >
<
α >
< α
8. Phương trình bậc 2 có điều kiện :
f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0), x ≠ α
2 nghiệm ⇔
>∆
≠α
0
0)(f
, 1 nghiệm ⇔
≠α
=∆
=α
>∆
0)(f
0
0)(f
0
Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ∨
=α
=∆
0)(f
0
Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN.
9. Phương trình bậc 4 :
a. Trùng phương : ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a ≠ 0) ⇔
=
≥=
0)t(f
0xt
2
t = x
2
⇔ x = ±
t
4 nghiệm ⇔
>
>
>∆
0S
0P
0
; 3 nghiệm ⇔
>
=
0S
0P
TRANG 6
α
x
1
x
2
x
3
α
x
1
x
2
x
3
α
x
1
x
2
x
3
α
x
1
x
2
x
3
2 nghiệm ⇔
>
=∆
<
02/S
0
0P
; 1 nghiệm ⇔
=
=∆
<
=
02/S
0
0S
0P
VN ⇔ ∆ < 0 ∨
<
>
≥∆
0S
0P
0
⇔ ∆ < 0 ∨
0
0
P
S
>
<
4 nghiệm CSC ⇔
=
<<
12
21
t3t
tt0
Giải hệ pt :
=
+=
=
21
21
12
t.tP
ttS
t9t
b. ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0. Đặt t = x +
x
1
. Tìm đk của t bằng BBT :
2t
≥
c. ax
4
+ bx
3
+ cx
2
– bx + a = 0. Đặt t = x –
x
1
. Tìm đk của t bằng BBT : t ∈ R.
d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x
2
+ (a + b)x. Tìm đk của t bằng
BBT.
e. (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c. Đặt :
2
ba
xt
+
+=
, t ∈ R.
10.Hệ phương trình bậc 1 :
=+
=+
'cy'bx'a
cbyax
. Tính :
D =
'b
b
'a
a
, D
x
=
'b
b
'c
c
, D
y
=
'c
c
'a
a
D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = D
x
/D , y = D
y
/D.
D = 0, D
x
≠ 0 ∨ D
y
≠ 0 : VN
D = D
x
= D
y
= 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết).
11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 :
Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy.
ĐK : S
2
– 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S
2
– 4P ≥ 0;
Thế S, P vào pt : X
2
– SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y.
(α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất
⇒ α = β ⇒ m = ?
Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không.
12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 :
Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng
thức đưa về phương trình tích A.B = 0.
Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1.
13. Hệ phương trình đẳng cấp :
=++
=++
'dy'cxy'bx'a
dcybxyax
22
22
TRANG 7
Xét y = 0. Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình theo y,
giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx.
14. Bất phương trình, bất đẳng thức :
* Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của
.,
, log, mũ có thể giải
trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét
dấu A, B rồi AB.
* Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều
số âm : có đổi chiều
Chia bất phương trình : tương tự.
* Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm.
* Bất đẳng thức Côsi :
a, b ≥ 0 :
ab
2
ba
≥
+
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b.
a, b, c ≥ 0 :
3
abc
3
cba
≥
++
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c.
* Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d
(ac + bd)
2
≤ (a
2
+ b
2
).(c
2
+ d
2
); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d
15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số
điểm chung.
Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I.
16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I :
Nếu tách được m, dùng đồ thò, lập BBT với x ∈ I.
f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt)
f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt)
III- LƯNG GIÁC
1. Đường tròn lượng giác :
Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM, đồng nhất
với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô
số các số thực x + k2π.
Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội của
6
π
(
3
1
cung phần tư) và
4
π
(
2
1
cung phần tư)
x = α +
n
k2
π
: α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên đường
tròn lượng giác.
2. Hàm số lượng giác :
TRANG 8
2
− π
2
π
0
+
2
π
0
2
− π
α
0
A
x+k2
M
cos
chiếu
sin
M
cotg
chiếu xuyên tâm
tg
M
3. Cung liên kết :
* Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg
hiệu π).
* Đổi hàm, không đổi dấu : phụ
* Đổi dấu, đổi hàm : hiệu
2
π
(sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu).
4. Công thức :
a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc.
b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b.
c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a.
d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a.
e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba.
f. Đưa về
2
a
tgt
=
: đưa lượng giác về đại số.
g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2.
h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b.
5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ,
sinα = 1 ⇔ α =
2
π
+ k2π; sinα = –1 ⇔ α = –
2
π
+ k2π,
cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α =
2
π
+ kπ,
cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π
sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π
cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π
tgu = tgv ⇔ u = v + kπ
cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ
6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c
* Điều kiện có nghiệm : a
2
+ b
2
≥ c
2
* Chia 2 vế cho
22
ba
+
, dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản.
(cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo
2
u
tgt
=
)
7. Phương trình đối xứng theo sin, cos :
Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos.
Đặt : t = sinu + cosu =
2
t 1
2 sin u , 2 t 2,sin u.cos u
4 2
π −
+ − ≤ ≤ =
÷
8. Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu :
Đặt :
2
1
2 0 2
4 2
t
t sin u cos u sin u , t ,sinu.cos u
π
−
= + = + ≤ ≤ =
÷
9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
Đặt :
π −
= − = − − ≤ ≤ =
÷
2
1 t
t sin u cosu 2 sin u , 2 t 2,sin u.cos u
4 2
10.Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
TRANG 9
Đặt :
2
1
2 0 2
4 2
t
t sin u cos u sin u , t ,sin u.cos u
π
−
= − = − ≤ ≤ =
÷
11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) :
Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos
2
u, dùng công thức
1/cos
2
u = 1 + tg
2
u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu.
12. Phương trình toàn phương mở rộng :
* Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos
3
u.
* Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu.
13. Giải phương trình bằng cách đổi biến :
Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :
* t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x.
* t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x.
* t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x.
* t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng
* t = tg
2
x
: nếu cả 3 cách trên đều không đúng.
14. Phương trình đặc biệt :
*
=
=
⇔=+
0v
0u
0vu
22
*
=
=
⇔
≥
≤
=
Cv
Cu
Cv
Cu
vu
*
=
=
⇔
+=+
≤
≤
Bv
Au
BAvu
Bv
Au
* sinu.cosv = 1 ⇔
−=
−=
∨
=
=
1vcos
1usin
1vcos
1usin
* sinu.cosv = – 1 ⇔
=
−=
∨
−=
=
1vcos
1usin
1vcos
1usin
Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1.
15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg
a. Dạng 1 :
=±
=±
)2(nyx
)1(m)y(F)x(F
. Dùng công thức đổi + thành nhân,
thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :
=−
=+
byx
ayx
b. Dạng 2 :
=±
=
nyx
m)y(F).x(F
. Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +.
c. Dạng 3 :
=±
=
nyx
m)y(F/)x(F
.
Dùng tỉ lệ thức :
db
ca
db
ca
d
c
b
a
−
−
=
+
+
⇔=
biến đổi phương trình (1) rồi dùng
công thức đổi + thành x.
d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản.
TRANG 10
16. Toán ∆ :
* Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π
* A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2.
* A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2)
A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ;
A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2)
Dùng các tính chất này để chọn k.
* Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng đònh lý hàm sin :
a = 2RsinA hay đònh lý hàm cos : a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc.cosA
*
pr
R4
abc
Csinab
2
1
ah
2
1
S
a
====
)cp)(bp)(ap(p
−−−=
* Trung tuyến :
222
a
ac2b2
2
1
m
−+=
* Phân giác : ℓ
a
=
cb
2
A
cosbc2
+
IV- TÍCH PHÂN
1. Đònh nghóa, công thức, tính chất :
* F là 1 nguyên hàm của
f
⇔
f
là đạo hàm của F.
Họ tất cả các nguyên hàm của
f
:
∫
dx)x(f
= F(x) + C (C ∈ R)
*
α+
α
= + = +
α +
∫ ∫
1
u
du u C ; u du C
1
, α ≠ – 1
u u
du
ln u C; e du e C;
u
= + = +
∫ ∫
∫
+=
Caln/adua
uu
sin udu cos u C= − +
∫
;
∫
+=
Cusinuducos
∫
+−=
Cgucotusin/du
2
;
∫
+=
Ctguucos/du
2
*
= = −
∫
b
b
a
a
f(x)dx F(x) F(b) F(a)
*
∫ ∫ ∫ ∫∫∫
+=−==
b
a
c
a
b
a
c
b
a
b
a
a
,;0
∫ ∫∫∫∫
=+=+
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
fkkf;gf)gf(
2. Tích phân từng phần :
udv uv vdu= −
∫ ∫
Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp.
a.
∫ ∫ ∫
=
nnnxn
xu:xcosx;xsinx,ex
b.
∫
=
xlnu:xlnx
n
c.
∫ ∫
==
dxedvhayeu:xcose,xsine
xxxx
TRANG 11
từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ
3. Các dạng thường gặp :
a.
∫
+
xcos.xsin
1n2m
: u = sinx.
∫
+
xsin.xcos
1n2m
: u = cosx.
∫
xcos.xsin
n2m2
: hạ bậc về bậc 1
b.
∫
xcos/xtg
n2m2
: u = tgx(n ≥ 0)
∫
xsin/xgcot
n2m2
: u = cotgx (n ≥ 0)
c.
∫
chứa a
2
– u
2
: u = asint
∫
chứa u
2
– a
2
: u = a/cost
∫
chứa a
2
+ u
2
: u = atgt
d.
∫
)xcos,x(sinR
, R : hàm hữu tỷ
R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx
R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx
R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx
R đơn giản :
2
x
tgu
=
∫
π
−
π
=
2/
0
x
2
ặtthử:
∫
π
−π=
0
xặtthử:
e.
∫
+=∈++
nqq/pnm
bxau:Zn/)1m(,)bxa(x
f.
∫
+=∈+
+
+
nnqq/pnm
bxaxu:Z
q
p
n
1m
,)bxa(x
g.
u
1
khx:cbxax)khx/[(dx
2
=++++
∫
h.
∫
++
)dcx/()bax(,x(R
, R là hàm hữu tỷ :
)dcx/()bax(u
++=
i.
∫
chứa (a + bx
k
)
m/n
: thử đặt u
n
= a + bx
k
.
4. Tích phân hàm số hữu tỷ :
∫
)x(Q/)x(P
: bậc P < bậc Q
* Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)
n
, ax
2
+ bx + c (∆ < 0)
* Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q :
n
n
2
21
n
)ax(
A
)ax(
A
ax
A
)ax(,
ax
A
ax
+
++
+
+
+
→+
+
→+
=+=<∆
++++
+
++
+
→<∆++
∫ ∫
atgtặt:)au/(du)0(
cbxax
dx
cbxax
B
cbxax
)bax2(A
)0(cbxax
22
222
2
5. Tính diện tích hình phẳng :
a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) :
∫
=
b
a
D
dx)x(fS
TRANG 12
f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở .; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu
f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác.
b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x)
(C') : y = g(x) :
∫
−=
b
a
D
dx)x(g)x(fS
Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/.
c. D giới hạn bởi (C
1
) : f
1
(x, y) = 0 , (C
2
) : f
2
(x, y) = 0
α
/
b
D
a
S f(x) g(x) dx= −
∫
β
/
b
D
a
S f(y) g(y) dy= −
∫
Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bò gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng
đứng ngay chỗ gãy.
Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bò gãy, ta cắt D bằng các đường ngang
ngay chỗ gãy.
Chọn tính
∫
theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bò chia cắt.
Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm.
Cần biết vẽ đồ thò các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P),
hàm lượng giác, hàm mũ, hàm
.
.
Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn
+
hay
−
( )
trái: x,phải: x,dưới: y,trên: y
−=+=−=+=
6. Tính thể tích vật thể tròn xoay :
a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) :
[ ]
∫
π=
b
a
2
dx)x(fV
b.
[ ]
∫
π=
b
a
2
dy)y(fV
c.
∫
−π=
b
a
22
dx)]x(g)x(f[V
TRANG 13
x=bx=a
f(x)
g(x)
y=a
f(y)
y=b
g(y)
a
b
f(x)
a
b
f(y)
b
f(x)
g(x
)
a
f(y)
a
g(y)
b
d.
∫
−π=
b
a
22
dy)]y(g)y(f[V
e.
∫∫
π+π=
b
c
2
c
a
2
dx)x(gdx)x(fV
f.
∫∫
π+π=
b
c
2
c
a
2
dy)y(fdy)y(gV
Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ dy.
V- KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Tìm lim dạng
0
0
, dạng 1
∞
:
a. Phân thức hữu tỷ :
1
1
ax
1
1
axax
Q
P
lim
)x(Q)ax(
)x(P)ax(
lim)0/0dạng(
)x(Q
)x(P
lim
→→→
=
−
−
=
b. Hàm lg :
1
u
usin
limthứccôngdùng),0/0dạng(
)x(g
)x(f
lim
0uax
=
→→
c. Hàm chứa căn :
)0/0dạng(
)x(g
)x(f
lim
ax
→
, dùng lượng liên hiệp :
a
2
– b
2
= (a – b)(a + b) để phá , a
3
– b
3
= (a – b)(a
2
+ ab + b
2
) để phá
3
d. Hàm chứa mũ hay log (dạng 1
∞
) : dùng công thức
e)u1(lim
u/1
0u
=+
→
2. Đạo hàm :
a. Tìm đạo hàm bằng đònh nghóa :
o
o
o
xx
0
xx
)x(f)x(f
lim)x('f
−
−
=
→
Tại điểm x
o
mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía :
.lim)x(f,lim)x(f
o
xx
o
/
o
xx
o
/
−
→
−
+
→
+
==
Nếu
)x(f)x(f
o
/
o
/
−+
=
thì f có đạo hàm tại x
o
.
b. Ý nghóa hình học :
k = tgα = f
/
(x
M
)
c. f
/
+ : f ↑ , f
/
– : f ↓
f
//
+ : f lõm , f
//
– : f lồi
d. f đạt CĐ tại M ⇔
<
=
0)x(f
0)x(f
M
//
M
/
f đạt CT tại M ⇔
>
=
0)x(f
0)x(f
M
//
M
/
M là điểm uốn của f ⇔ f
//
(x
M
) = 0 và f
//
đổi dấu khi qua x
M
.
TRANG 14
f(x)
g(x
0)
a b
a b
c
f(x) -g(x)
b
c
f(y)
-g(y)
a
M
α
f(x)
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét