249788

3
nhiên Itô – Wiener nhiều chiều và đa thức Hermite nghĩa là đa thức Hermite được
biểu diễn thành tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều.
Chương III: Phần đầu trình bày về tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Lévy, để
xây dựng tích phân này trước hết ta đưa ra các khái niệm, tính chất của quá tr ình
Lévy sau đó ta ti ến hành xây dựng tích phân ngẫu nhi ên theo quá trình Lévy và
đưa ra các tính chất cơ bản của tích phân n ày. Tiếp theo là trình bày phần ứng
dụng của quá trình Lévy trong tài chính b ằng việc sử dụng biến đổi Esscher (biến
đổi Esscher là sự biến đổi từ độ đo xác suất c ơ sở
P
tương đương địa phương độ
đo
Q
theo quá trình mật độ
t
t
dQ
Z
dP

F
).
4
Mục luc Trang
Lời cảm ơn……………………………………………………………………… …1
Lời nói đầu………………………………………………………………… ………2
Mục lục…………………………………………………………………… ……….4
Bảng ký hiệu……………………………………………………………… ……….8
Chương I: Tích Phân Itô – Wiener Một Chiều……………………. …… 10
§1.1. Những khái niệm cơ bản……………………………………………… ……10
1.1.1. Định nghĩa
 
đại số………………………………………… … 10
1.1.2. Định nghĩa không gian xác suất……… …………………………… 10
1.1.3. Định nghĩa biến ngẫu nhiên…………………………………… … 11
1.1.4. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên……………………………… …….11
1.1.5. Định nghĩa liên tục ngẫu nhiên………………………………… ……12
1.1.6. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên đo được……………………… … 12
1.1.7. Định nghĩa bộ lọc……………………………………………… ……12
1.1.8. Định nghĩa matingale…………………………………………… … 13
1.1.9. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên đo được dần…………………… …13
1.1.10.Định nghĩa hội tụ theo xác suất………………………………… … 14
1.1.11.Định nghĩa hội tụ hầu chắc chắn………………………………… ….14
1.1.12.Định lý hội tụ bị chặn (hội tụ bị trội)………………………… …… 14
§1.2. Tích phân Itô – Wiener một chiều………… ……………………… … 15
1.2.1. Định nghĩa lịch sử và tương lai của quá trình Wiener… ………… 15
1.2.2. Định nghĩa……………………………………………… ………… 16
1.2.3. Định nghĩa…………………………………………… …………… 16
1.2.4. Định nghĩa không gian hàm bình ph ương khả tích ……………… 16
1.2.5. Định nghĩa hàm sơ cấp.………………………… ………………… 17
1.2.6. Định nghĩa tích phân ngẫu nhi ên Itô của hàm sơ cấp……………… 17
5
1.2.7. Bổ đề xấp xỉ một hàm bất kỳ bằng hàm sơ cấp………………… 17
1.2.8. Định nghĩa tích phân ngẫu n hiên Itô của hàm bất kỳ……………… 18
1.2.9. Các tính chất của tích phân ngẫu nhiên Itô……………………… … 18
1.2.10.Ví dụ……………………………………………………… …………21
§1.3. Vi phân ngẫu nhiên Itô………………… ……………………………… … 23
1.3.1. Định nghĩa………………………………………………… ……… 23
1.3.2. Định lý công thức vi ph ân Itô một chiều………………………… ….24
1.3.3. Ví dụ…………………………………………………… ……………28
1.3.4. Tính chất công thức vi phân của tíc h hai quá trình ngẫu nhiên…… 28
1.3.5. Ví dụ………………………………………………………… ………30
1.3.6. Tính chất công thức vi phân ……………………………………… …31
1.3.7. Ví dụ…………………………………………………………… ……31
1.3.8. Tính chất công thức vi phân ……………………………………… …32
1.3.9. Ví dụ……………………………………………………………… …33
1.3.10.Tính chất công thức tích phân từng phần………………………… …34
1.3.11.Ví dụ………………………………………………………… ………34
1.3.12.Tính chất công thức vi phân vec tơ – Itô………………………… ….34
1.3.13.Tính chất công thức vi phân Itô nhiều chiều…………………… … 35
§1.4. Ứng dụng trong t ài chính………………………………………………… 36
1.4.1. Đạo hàm bậc nhất của công thức Black – Scholes……………… 37
1.4.2. Ví dụ…………………………………………………………… ……39
1.4.3. Kỳ vọng và phương sai của quá trình Cox – Ingersoll – Ross………41
Chương II: Tích Phân Itô - Wiener Nhiều Chiều…………………… 44
§2.1. Tích phân ng ẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều… …………………… 44
2.1.1. Định nghĩa hàm đối xứng…………… …………………………… …44
2.1.2. Định nghĩa………………………………………………………… 44
2.1.3. Ví dụ………………………………………………………… ………45
6
2.1.4. Định nghĩa tích phân Itô lặp……………………………………… …45
2.1.5. Định nghĩa tích phân Itô – Wiener nhiều chiều ……………………47
§2.2. Đa thức Hermite………………………………………………………… ….48
2.2.1. Tính chất công thức đa thức hermite……………………………… 48
2.2.2. Tính chất đệ qui…………………………………………………… 49
2.2.3. Tính chất………………………………………………………… 50
2.2.4. Tính chất trực giao………………………………………………… 52
2.2.5. Tính chất đa thức Hermite bi ểu diễn thành tích phân Itô – Wiener
nhiều chiều………………………………………………… …… 55
Chương III: Khái Niệm Mở Rộng Về Tích Phân Ngẫu Nhi ên…………58
§3.1. Quá trình Levy…………………………………………………………… 58
3.1.1. Định nghĩa quá trình Levy……………………………………… … 58
3.1.2. Định lý các tính chấ t của quá trình Levy………………………… ….58
3.1.3. Định lý biểu diễn Levy – Khintchine…………………………… … 60
§3.2. Tính chất Markov mạnh c ủa quá trình Levy……………………………… 60
3.2.1. Định nghĩa thời điểm dừng………………………………………… 61
3.2.2. Bổ đề…………………………………………………………… ……61
3.2.3. Bổ đề……………………………………………………… …………62
3.2.4. Tính chất………………………………………………… ………… 63
3.2.5. Tính chất……………………………………………… …………… 64
3.2.6. Định lý……………………………………………… ……………….65
§3.3. Tích phân ng ẫu nhiên theo quá trình Levy………………………………… 66
3.3.1. Định nghĩa tích phâ n hàm bậc thang……………………………… 66
3.3.2. Tính chất……………………………………………… …………… 67
3.3.3. Định nghĩa tích phân ngẫu nhi ên theo quá trình Levy…………… …69
3.3.4. Tính chất……………………………………………………… …… 69
3.3.5. Tính chất công thức tích phân từng phần…………………………… 70
7
3.3.6. Ví dụ…………………………………………………………… ……71
§3.4. Ứng dụng trong tài chính………………………………………………… 71
3.4.1. Định nghĩa biến đổi Esscher………………………………………… 72
3.4.2. Tính chất…………………………………………………………… 73
3.4.3. Tính chất………………………………………………………… … 74
3.4.4. Tính chất……………………………………………………… …… 76
3.4.5. Tính chất…………………………………………………… ……… 78
Kết luận………………………………………………………………………… 80
Tài liệu tham khảo 81
8
BẢNG KÝ HIỆU
d

không gian Euclide d  chiều
 
d
B Borel
 
đại số của
d

P

hội tụ theo xác suất
. .h c c hầu chắc chắn
d

bằng nhau theo phân phối
 
exp x
x
e
 
1
A
x
hàm chỉ tiêu:
= 1 nếu
x A
= 0 nếu
x A
X
t
F
 
trường sinh bởi biến ngẫu nhiên
 
 
, ,0
X
t t s
X X s t    F

toán tử Laplace:
2
2
d
i
i
f
f
x

 



toán tử Gradient:
1
, ,
d
f f
f
x x
 
 
 
 
 
 

 
0
o t t
hàm vô cùng bé có b ậc cao hơn bậc
của
0
t t

B F
 
trường tích nhỏ nhất chứa các
tập có dạng
 
0,t A
với
,t A

  F

chuẩn trong không gian Banach
9
loc

tương đương địa phương
 
mgf 
hàm sinh moment
 
ˆ
z
hàm đặc trưng của phân phối

T
Thời điểm dừng:
 
 


: , 0, .
t
t t      FT

kết thúc một chứng minh
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học



10
CHƯƠNG I

TÍCH PHÂN ITÔ - WIENER MỘT CHIỀU


§1.1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN


Trước khi đi vào nội dung chính của luận văn, ta nhắc lại những kiến thức cơ
bản dưới dạng kết quả mà không chứng minh. Đây là những kiến thức cần thiết sử
dụng cho các phần tiếp theo của luận văn này.

Định nghĩa 1.1.1
:
σ−
đại số

Giả sử
A
là lớp nào đấy các tập con của
Ω
, khi đó
A
được gọi là
σ−
đại số
(hay
σ−
trường) nếu:

(i)
Ω∈A
;

(ii)
c
AA∈⇒ ∈AA
;

(iii)
1
,1,2,
kk
k
Ak A
∞
=
∈=⇒∈∪AA
.

Định nghĩa 1.1.2: Không gian xác suất

Cho
Ω
là một tập hợp,
F
là một
σ −
đại số của các tập con trong
Ω
, và
P

là một độ đo trên
F
. Khi đó bộ ba
( )
,,PΩ F
được gọi là một không gian đo. Nếu
( )
1P Ω=
thì
( )
,,PΩ F
được gọi là không gian xác suất.
Cho không gian xác suất
( )
,,PΩ F
,
bất kỳ tập
A∈ F
được gọi là biến cố (hay
sự kiện) và
[ ]
P A
được gọi là xác suất của biến cố
A
. Tập hợp tất cả những tập
Borel trên
d

, ký hiệu là
( )
d
B
được gọi là Borel
σ −
đại số của
d

. Một hàm
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học



11
thực
( )
f x
trên
d

được gọi là đo được nếu nó là
( )
d
−B
đo được. Ta nói
F
là
độ đo xác suất trên
d

nếu
F
là một độ đo xác suất trên
( )
( )
,.
dd
B


Định nghĩa 1.1.3: Biến ngẫu nhiên


Cho
( )
,,
P
Ω
F
là không gian xác suất, một ánh xạ
:
d
X
Ω→

là một biến
ngẫu nhiên trên
d

nếu nó là
−F
đo được, tức là
( )
{ }
: X Bω ω∈ ∈
F
cho mỗi
( )
d
B ∈

B
, trong đó
( )
d

B
là Borel
σ −
đại số của
d

.
Cho
( )
d
B ∈

B
, ta viết
( )
:P XB⎡ω ω ∈ ⎤
⎣⎦
tương đương
( )
P XB∈
. Độ đo xác
suất trên
( )
d

B
được gọi là phân phối trên
d

. Nếu hai biến ngẫu nhiên
,X Y

trên
d

có cùng phân phối, tức là
X Y
P P=
thì ta viết
d
X Y=
.

Định nghĩa 1.1.4: Quá trình ngẫu nhiên


Họ các đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị trên
d

:
{ }
:0
t
Xt≥
xác định trên
cùng một không gian xác suất
( )
,,PΩ F
được gọi là một quá trình ngẫu nhiên. Để
đơn giản ta thường ký hiệu nó là
t
X
(hoặc bằng các ký hiệu sau:
( ) ( ) ( )
,,,
t
X tX Xt
ω ω
).
•
Nếu cố định các thời điểm
12
,0
m
ttt t≤ <<<
khi đó:
( )
( )
11
, ,
mm
P Xt B Xt B
⎡⎤
∈∈
⎣⎦
sẽ xác định một độ đo xác suất trên
( )
(
)
m
d
B
.
•
Họ của các độ đo xác suất trên với mọi cách chọn
1
, , ;
m
ttmN∈
, được gọi
là phân phối hữu hạn chiều của quá trình
t
X
. Ta ký hiệu nó là:

Chương I Luận văn thạc sĩ toán học



12

( )
( )
( )
1
, , 1 1 1
, , , ,
m
tt m m m
F xx PXtxXt x
⎡ ⎤
=< <
⎣ ⎦
. (1.1)

Định nghĩa 1.1.5: Liên tục ngẫu nhiên

Quá trình ngẫu nhiên
t
X
được gọi là liên tục ngẫu nhiên nếu:


( )
[
)
lim 0; 0; 0,
st
st
PX X t
→
−>= ∀>∀∈∞
εε
(1.2)

Định nghĩa 1.1.6: Quá trình ngẫu nhiên đo được

Ta nói rằng quá trình
t
X
là đo được nếu ánh xạ:
( )
( )
:, ,
t
X
++
×Ω ⊗ →
BF B
là đo được đối với
−
σ
trường tích
+
⊗
BF
.
Trong đó
+
⊗
BF
là
−
σ
trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng
[ ]
0,
tA
×
với
,tA
+
∈∈

F
.
•
Mọi quá trình
t
X
liên tục đều đo được.

Định nghĩa 1.1.7: Bộ lọc

(1)

Họ các
−
σ
trường con
t
⊂
FF
được gọi là bộ lọc nếu nó thỏa các điều
kiện sau:

i.
0
st
st
⊂∀≤≤<∞
FF
(họ luôn tăng) (1.3)

ii.
0
0
tt
+
>
=∀>
∩
ε
ε
ε
FF
(họ liên tục phải) (1.4)

Xem chi tiết: 249788