550 Bi Toỏn Chn Lc Bt ng Thc Trn Mnh Cng
5
50. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
ồ (1+ a
2
)
2
(1 + b
2
)
2
(a c)
2
(b c)
2
(1+ a
2
)(1 + b
2
)(1 + c
2
)(a b)
2
(b c)
2
(c a)
2
51. Cho
n
xxx , ,,
21
, Ryyy
n
ẻ, ,,
21
tho món iu kin
1
22
2
2
1
22
2
2
1
=+++=+++
nn
yyyxxx
Chng minh rng
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-Ê-
ồ
=
n
i
ii
yxyxyx
1
2
1221
12)(
52.Cho
n
aaa , ,,
21
l cỏc s nguyờn dng khỏc nhau tng ụi mt . Chng minh rng
) (
3
12
21
22
2
2
1 nn
aaa
n
aaa +++
+
+++
53. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin a + b + c = 1.Chng minh rng
4
33
)3()3()3(
+
+
+
+
+ cabc
ba
bcab
ac
abca
cb
54. Cho a,b,c,d l cỏc s thc tho món iu kin (1+ a
2
)(1 + b
2
)(1 + c
2
)(1 + d
2
) = 16.Chng minh rng
53 Ê-+++++Ê- abcdbdacdacdbcab
55. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
(a
2
+ 2)(b
2
+ 2)(c
2
+ 2) 9(ab + bc + ca)
56. Cho x,y,z l cỏc s thc tho món cỏc iu kin
zyx ÊÊ<0
, x + y + z = xyz + 2. Chng minh rng
a) (1 xy)(1 - yz)(1 - zx)
0
b) x
2
y Ê 1 , x
3
y
2
Ê
27
32
57. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin a + b + c abc .Chng minh rng ớt nht mt trong
ba bt ng thc sau õy l ỳng
6
632
,6
632
,6
632
++++++
bacacbcba
.
58. Cho x,y,z l cỏc s thc dng tho món iu kin x + y + z = xyz .Chng minh rng
(x 1)(y 1)(z 1) 1036 -Ê .
59. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
4
)()()(
222333333
accbba
ac
ac
cb
cb
ba
ba -+-+-
Ê
+
-
+
+
-
+
+
-
60. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
(a
5
a
2
+ 3)(b
5
b
2
+ 3)(c
5
c
2
+ 3) (a + b + c)
3
.
61. Cho
n
xxx , ,,
21
> 0 , n > 2 tho món iu kin
1
1
2
11
+=
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
ồồ
==
n
x
x
n
k
k
n
k
k
Chng minh rng
)1(
2
4
1
2
1
2
1
2
-
++>
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
ồồ
==
nn
n
n
k
k
n
k
k
x
x
62. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc + 3 (1 + a)(1 + b)(1 + c) .
63. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
.8
)(2
)2(
)(2
)2(
)(2
)2(
22
2
22
2
22
2
Ê
++
++
+
++
++
+
++
++
bac
bac
cab
cab
cba
cba
64.Cho x,y l cỏc s thc dng v m,n l cỏc s nguyờn dng .Chng minh rng
(n 1)(m 1)(x
m+n
+ y
m+n
) + (m + n 1)(x
m
y
n
+ x
n
y
m
) mn(x
m + n 1
y + y
m + n 1
x) .
www.VNMATH.com
550 Bi Toỏn Chn Lc Bt ng Thc Trn Mnh Cng
6
65. Cho a,b,c,d,e l cỏc s thc dng tho món iu kin abcde = 1. Chng minh rng
3
10
11111
++
+
+
++
+
+
++
+
+
++
+
+
++
+
eabcea
eabe
deabde
dead
cdeacd
cdec
bcdebc
bcdb
abcdab
abca
.
66.Cho
)
2
;0(,,
p
ẻcba
.Chng minh rng
0
)sin(
)sin().sin(.sin
)sin(
)sin().sin(.sin
)sin(
)sin().sin(.sin
+
+
+
+
+
ab
acbcc
ca
cbabb
cb
cabaa
67. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
.
333333222222444
cabcabaccbbaaccbbacba ++++++++++
68. Cho a,b,c,x,y,z l cỏc s thc dng. Chng minh rng
ax + by + cz +
).)((
3
2
))((
222222
zyxcbazyxcba ++++++++
69.Cho a,b,c l di ba cnh ca mt tam giỏc.Chng minh rng
.213
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
++
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-++
c
a
b
c
a
b
a
c
c
b
b
a
70. Cho
n
xxx , ,,
21
> 0 , n > 2 tho món iu kin 1
21
=+++
n
xxx .Chng minh rng
.
1
1
1
11
ếế
==
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
-
-
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
+
n
i
i
i
n
i
n
x
xn
x
71. Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm tho món iu kin a
2
+ b
2
+ c
2
+ abc = 4.Chng minh rng
20 Ê-++Ê abccabcab
72. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
{ }
.)(,)(,)(max
3
222
3
accbbaabc
cba
Ê-
++
73. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
.
3
.
2
.
3
3
3
cbaba
a
abcaba +++
Ê
++
74. Cho x,y,z l cỏc s thc dng tho món iu kin (x + y + z)
3
= 32xyz.Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr
nh nht ca biu thc
P =
4
444
)( zyx
zyx
++
++
75. Cho a,b,c,d l cỏc s thc dng. Chng minh rng
(a + b)
3
(b + c)
3
(c + d)
3
(d + a)
3
16
42222
)( dcbadcba +++
76. Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm tho món iu kin a + b + c = 1. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
P =
ca
ca
bc
bc
ab
ab
-
+
-
+
- 1
)(
1
)(
1
)(
444
77. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
)1(
3
)1(
1
)1(
1
)1(
1
33
abcabc
accbba
+
+
+
+
+
+
78. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin a
2
+ b
2
+ c
2
= 9. Chng minh rng
2(a + b + c) abc Ê 10
79. Cho x,y,z l cỏc s thc dng. Chng minh rng
2222222
)(
9111
zyxxzxzzyzyyxyx ++
++
+
++
+
++
80.
Cho ba s thc dng a ,b ,c tho món iu kin ab + bc + ca 1 .Chng minh rng :
( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
a b c
a ab b b bc c c ca a
+ +
+ +
+ + + + + +
www.VNMATH.com
550 Bi Toỏn Chn Lc Bt ng Thc Trn Mnh Cng
7
81. Cho a,b,c,d l cỏc s thc dng. Chng minh rng
2(a
3
+ 1)(b
3
+ 1)(c
3
+ 1)(d
3
+ 1) (1 + abcd)(1+ a
2
)(1 + b
2
)(1 + c
2
)(1+ d
2
) .
82. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
(a + b)
4
+ (b + c)
4
+ (c + a)
4
7
4
(a
4
+ b
4
+ c
4
) .
83. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin abc = 1. Chng minh rng
.
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
cbaaccbba +
+
+
+
+
Ê
++
+
++
+
++
84. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin 21ab + 2bc + 8ca Ê 12.Tỡm giỏ tr nh nht ca biu
thc
P =
.
321
cba
++
85. Cho a,b,c,x,y,z l cỏc s thc dng tho món iu kin xy + yz + zx = 3. Chng minh rng
3)()()( +
+
++
+
++
+
yx
ba
c
xz
ac
b
zy
cb
a
86. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
.
5
3
)(
)(
)(
)(
)(
)(
22
2
22
2
22
2
++
-+
+
++
-+
+
++
-+
cba
cba
bac
bac
acb
acb
87. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin a + b + c = 1. Chng minh rng
(a
2
+ b
2
) (b
2
+ c
2
)( c
2
+ a
2
) 8(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
)
2
88. Cho a,b,c,d l cỏc s thc dng tho món iu kin abcd = 1. Chng minh rng
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
2222
+
+
+
+
+
+
+ dcba
89. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
ba
c
ac
b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
22
2
22
2
22
2
90. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin abc + a + c = b. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
sau
P =
222
1
3
1
2
1
2
cba +
+
+
-
+
91.Cho n s thc
n
aaa , ,,
21
.Chng minh rng
2
1
2
) (
*
j
nji
i
i
i
aaa ++Ê
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
ồồ
ÊÊÊ
Nẻ
92. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
3
222
Ê
+
+
+
+
+ ac
c
cb
b
ba
a
93. Cho x,y,z l cỏc s thc dng. Chng minh rng
(xy + yz + zx)
4
9
)(
1
)(
1
)(
1
222
ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
+
+
+
+
+ xzzyyx
94.Cho
n
xxx , ,,
21
l cỏc s thc dng tho món iu kin
ế
=
Ê+
n
i
n
i
x
1
2)13(
.
Chng minh rng
.
316
1
1
n
x
n
i
i
+
ồ
=
95.Cho
n
aaa , ,,
21
l cỏc s thc dng. Chng minh rng
www.VNMATH.com
550 Bi Toỏn Chn Lc Bt ng Thc Trn Mnh Cng
8
(n 1)(a
1
n
+ a
2
n
+ + a
n
n
) + n a
1
a
2
a
n
(
a
1 +
a
2 + +
a
n)
(a
1
n -1
+ a
2
n -1
+ + a
n
n - 1
)
96. Cho
n
xxx , ,,
21
> 0 tho món iu kin 1
21
=
n
xxx . Chng minh rng
nxxx
n
i
ij
nji
i
--
ồồ
=ÊÊÊ 1
2
2
1
)(
.
97. Cho
n
aaa , ,,
21
1
1
-
<
n
v a
1 +
a
2 + +
a
n
= 1, n > 2. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
.
)1(1
1
21
ồ
=
n
i
i
n
an
aaa
98. Cho
n
aaa , ,,
21
[
)
1;0ẻ
tho món iu kin
a =
3
3
22
2
2
1
+++
n
aaa
n
Chng minh rng
222
2
2
2
1
1
1
1
11
a
na
a
a
a
a
a
a
n
n
-
-
++
-
+
-
99. Cho a,b,c,x,y,z l cỏc s thc dng tho món iu kin
(a + b + c)(x + y + z) = (a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) = 4
Chng minh rng
abcxyz
36
1
<
.
100. Cho
n
xxx , ,,
21
> 0 , n > 2 tho món iu kin 1
21
=
n
xxx .Tỡm hng s k
n
nh nht sao cho
1
1
1
1
1
1
1
21
-Ê
+
++
+
+
+
n
xkxkxk
nnnn
.
101. Cho
n
xxx , ,,
21
> 0 , n > 2 tho món iu kin
1
22
2
2
1
=+++
n
xxx
.Tỡm hng s k
n
ln nht sao cho
(1
1
x
) (1
2
x
) (1 x
n
)
nn
xxxk
21
102. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin abc = 1. Chng minh rng
2
3
)(
1
)(
1
)(
1
333
+
+
+
+
+ bacacbcba
103. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin abc = 1. Chng minh rng
1
555555
Ê
++
+
++
+
++ caac
ca
bccb
bc
abba
ab
104. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ + Ê
+ + + + + +
105.
Cho x,y,z l cỏc s thc dng v tớch xyz = 1.Chng minh rng:
1 1 1
1
1 1 1x y y z x z
+ + Ê
+ + + + + +
.
106. Cho x,y,z l cỏc s thc dng tho món iu kin 4
111
=++
zyx
. Chng minh rng
1
2
1
2
1
2
1
Ê
++
+
++
+
++ zyxzyxzyx
.
107.
Cho cỏc s thc khụng õm x, y thay i v tha món x + y = 1. Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht
ca biu thc
( )( )
2 2
S 4x 3y 4y 3x 25xy= + + +
108.
Cho x,y,z l cỏc s thc dng thay i v tho món iu kin xyz = 1.Tỡm giỏ tr nh nht ca biu
thc:
www.VNMATH.com
550 Bi Toỏn Chn Lc Bt ng Thc Trn Mnh Cng
9
2 2 2
( ) ( ) ( )
2 2 2
x y z y z x z x y
P
y y z z z z x x x x y y
+ + +
= + +
+ + +
109.Cho x,y,z l ba s dng v tho món iu kin
1Ê++ zyx
.Chng minh rng
.82
111
2
2
2
2
2
2
+++++
z
z
y
y
x
x
110.Cho cỏc s dng x,y,z tho món iu kin xyz = 1.Chng minh rng
33
1
11
33
3333
++
+
++
+
++
zx
xz
yz
zy
xy
yx
.
Khi no ng thc xy ra ?
111.Cho x ,y l cỏc s thc thay i .Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
2 2 2 2
( 1) ( 1) 2 .A x y x y y= - + + + + + -
112. Cho hai s thc x0, y0 thay i v tho món iu kin
( )
2 2
x y xy x y xy+ = + -
Tỡm giỏ tr ln
nht ca biu thc
A =
33
11
yx
+
.
113.
Cho ab> 0. Chng minh rng
a
b
b
b
a
a
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+Ê
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
2
1
2
2
1
2
114. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin abc = 1. Chng minh rng
3333
2
3
2
3
2
18111
cbab
ca
a
bc
c
ab
++
+
+
+
+
+
115. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin abc = 1. Chng minh rng
2
1
1)1(
1
1)1(
1
1)1(
1
222222
Ê
+++
+
+++
+
+++ accbba
116. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin abc = 1. Chng minh rng
1
1
1
1
1
1
1 Ê
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+-
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+-
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+-
a
c
c
b
b
a
117. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin abc = 1. Chng minh rng
4
3
)1)(1()1)(1()1)(1(
333
++
+
++
+
++ ba
c
ca
b
cb
a
118. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin a + b + c = 1. Chng minh rng
4
1
111
Ê
+
+
+
+
+
b
ca
a
bc
c
ab
119. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin a + b + c = 1. Chng minh rng
132
222
Ê+++ abccba
120.Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Chng minh rng
34
1
+++
abc
cba
121. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin a + b + c = 1. Chng minh rng
cabcabbcaabccab ++++++++ 1 .
122. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin a + b + c = 1. Chng minh rng
(1 + a)(1 + b)(1 + c) 8(1 a)(1 b)(1 c) .
123. Cho a,b l cỏc s thc dng tho món iu kin a + b = 1. Chng minh rng
3
1
11
22
+
+
+ b
b
a
a
www.VNMATH.com
550 Bi Toỏn Chn Lc Bt ng Thc Trn Mnh Cng
10
124.Cho cỏc s thc x,y .Chng minh rng
3(x + y + 1)
2
+ 1 3xy .
125. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
33
3
11
)(2
a
b
b
a
ba
ba +
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
++
.
126.Cho a,b,c 1. Chng minh rng
)1(111 +Ê-+-+- abccba
.
127. Cho x,y,z l cỏc s thc dng tho món iu kin x + y + z = xyz .Chng minh rng
2
3
1
1
1
1
1
1
222
Ê
+
+
+
+
+ zyx
.
128. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
1
888
222
+
+
+
+
+ abc
c
cab
b
bca
a
.
129. Cho a,b,c,d l cỏc s thc dng. Chng minh rng
3
2
32323232
++
+
++
+
++
+
++
cba
d
bad
c
adc
b
dcb
a
.
130. Cho a,b,c,d l cỏc s thc dng tho món iu kin ab + bc + cd + da = 1. Chng minh rng
3
1
3333
++
+
++
+
++
+
++ cba
d
bad
c
adc
b
dcb
a
.
131. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
abc
ab
cab
ca
bca
bc
222
222
+
+
+
+
+
Ê
abc
c
cab
b
bca
a
222
1
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
Ê
.
132. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
cba
ab
c
ca
b
bc
a
++++
333
.
133. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin a
2
+ b
2
+ c
2
= 3. Chng minh rng
2
3
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
cabcab
.
134.
Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
1+
+
+
+
+
+
++
ba
cb
cb
ba
a
c
c
b
b
a
.
135.Cho a,b,c
4
3
-
v a + b + c = 1. Chng minh rng
10
9
111
222
Ê
+
+
+
+
+ c
c
b
b
a
a
.
136. Cho x,y,z l cỏc s thc dng tho món iu kin xyz = 1 .Chng minh rng
2
6336
99
6336
99
6336
99
++
+
+
++
+
+
++
+
xxzz
xz
zzyy
zy
yyxx
yx
.
137.Cho
0> zyx
.Chng minh rng
222
222
zyx
y
xz
x
zy
z
yx
++++
.
138. Cho
0> cba
.Chng minh rng
cba
b
ca
a
bc
c
ba
+-
-
+
-
+
-
43
222222
.
139. Cho x,y,z l cỏc s thc dng. Chng minh rng
www.VNMATH.com
550 Bi Toỏn Chn Lc Bt ng Thc Trn Mnh Cng
11
9
33
))((
)(
222
222
+
Ê
++++
+++++
zxyzxyzyx
zyxzyxxyz
.
140. Cho
n
aaa , ,,
21
> 0 v 1
21
<+++
n
aaa .Chng minh rng
1
2121
2121
1
)1) (1)(1)( (
) 1(
+
Ê
+++
n
nn
nn
n
aaaaaa
aaaaaa
.
141.Cho hai s thc a,b vi
0ạa
.Chng minh rng
3
1
2
22
+++
a
b
a
ba
.
142. Cho
n
aaa , ,,
21
> 0 . Chng minh rng
n
n
n
n
aaa
a
a
a
a
a
a
a
a
+++++++
-
21
1
22
1
3
2
2
2
2
1
.
143. Cho x,y,z l cỏc s thc dng tho món iu kin xyz = 1 .Chng minh rng
)(2
222
zxyzxyzyxzyx +++++++ .
144. Cho x,y,z l cỏc s thc dng tho món iu kin xyz xy + yz + zx .Chng minh rng
xyz 3(x + y + z)
145.Cho x,y,z > 1 v 2
111
=++
zyx
. Chng minh rng
111 -+-+-++ zyxzyx
.
146. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin ab + bc + ca = 1. Chng minh rng
abc
a
c
c
b
b
a
1
6
1
6
1
6
1
333
Ê+++++
.
147.Cho
2,2,2 zyx
. Chng minh rng
(x
3
+ y)(y
3
+ z)(z
3
+ x) 125xyz .
148. Cho a,b,c,d l cỏc s thc dng tho món iu kin
32222
)( badc +=+ . Chng minh rng
1
33
+
d
b
c
a
.
149. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
1
222
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
.
150. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
bc
c
ab
b
ac
a
cbb
ca
baa
bc
acc
ab
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ )()()(
.
151. Cho a,b,c,d l cỏc s thc dng. Chng minh rng
4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
ad
bd
dc
ac
cb
db
ba
ca
.
152. Cho x,y,u,v l cỏc s thc dng. Chng minh rng
vu
uv
yx
xy
vuyx
uvuyxuxy
+
+
+
+++
+++
.
153. Cho x,y,z l ba s thc thuc on
[ ]
4;1
v zxyx , . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
P =
xz
z
zy
y
yx
x
+
+
+
+
+ 32
.
154. Cho x,y,z l ba s thc thuc on
[ ]
9;1
v zxyx , . Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc
P =
xz
z
zy
y
yx
x
+
+
+
+
+ 2
.
www.VNMATH.com
550 Bi Toỏn Chn Lc Bt ng Thc Trn Mnh Cng
12
155. Cho x,y,z l ba s thc thuc on
ỳ
ỷ
ự
ờ
ở
ộ
3;
3
1
v zxyx , .Chng minh rng
5
7
+
+
+
+
+ xz
z
zy
y
yx
x
.
156. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
ữ
ữ
ứ
ử
ỗ
ỗ
ố
ổ
++
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
3
12111
abc
cba
a
c
c
b
b
a
.
157. Cho x,y,z l cỏc s thc khụng õm tho món iu kin x + y + z = 1. Chng minh rng
x
2
y + y
2
z + z
2
x
27
4
Ê
.
158. Cho a,b,c,d,e,f l cỏc s thc dng tho món iu kin
a + b + c + d + e + f = 1 v ace + bdf
108
1
.
Chng minh rng
abc + bcd + cde + def + efa + fab
36
1
Ê
.
159.Ch a,b,c
[ ]
1;0ẻ
.Chng minh rng
a
2
+ b
2
+ c
2
Ê a
2
b + b
2
c + c
2
a + 1 .
160.Cho a,b,c 0 v a + b + c abc .Chng minh rng
a
2
+ b
2
+ c
2
abc .
161. Cho a,b,c 0 v a + b + c abc .Chng minh rng
a
2
+ b
2
+ c
2
3 abc .
162. Cho x,y,z l cỏc s thc dng tho món iu kin x + y + z =
xyz
.Chng minh rng
xy + yz + zx 9(x + y + z) .
163. Cho
4321
,,, xxxx l cỏc s thc dng tho món iu kin 1
4321
=xxxx . Chng minh rng
ỵ
ý
ỹ
ợ
ớ
ỡ
+++++++++
4321
4321
3
4
3
3
3
2
3
1
1111
,max
xxxx
xxxxxxxx
.
164. Cho a,b,c,x,y,z l cỏc s thc dng. Chng minh rng
)(3
)(
3333
zyx
cba
z
c
y
b
x
a
++
++
++
.
165. Cho a,b,c,d l cỏc s thc dng tho món iu kin
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4444
=
+
+
+
+
+
+
+ dcba
.
Chng minh rng
abcd 3 .
166.Cho x,y,z > 1. Chng minh rng
( )
zxyzxy
xyzzxyyzx
xyzzyx
++
+++
222
222
.
167.Cho
0 abc
.Chng minh rng
(a + 3b)(b + 4c)(c + 2a) 60abc .
168. Cho x,y,z l cỏc s thc dng. Chng minh rng
)(2
222
yzxyzyx +++
.
169.Cho cỏc s thc a,b,c tho món iu kin a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Chng minh rng
5
3
212121
222
+
+
+
+
+ ab
c
ca
b
bc
a
.
170. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin abc 1. Chng minh rng
www.VNMATH.com
550 Bi Toỏn Chn Lc Bt ng Thc Trn Mnh Cng
13
1
111
444444
Ê
++
+
++
+
++ cbacbacba
.
171.Cho a > b > c > 0 , x > y > z > 0 . Chng minh rng
4
3
))(())(())((
222222
++
+
++
+
++ bxaybyax
zc
azcxaxcz
yb
cybzczby
xa
.
172.
Cho 3 s thc khụng õm
, ,a b c
. Chng minh rng:
( )
2 2 2
2 1 2a b c abc ab bc ca+ + + + + +
Du ng thc xy ra khi no ?
173.
Cho ba s thc
, ,a b c
ụi mt phõn bit. Chng minh rng :
2 2 2
2 2 2
2
( ) ( ) ( )
a b c
b c c a a b
+ +
- - -
174. Cho a,b,c l cỏc s thc khụng õm tho món iu kin a + b + c = 3. Chng minh rng
2
3
111
222
+
+
+
+
+ a
c
c
b
b
a
.
175. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
1
222
Ê
+
+
+
+
+
ac
c
cb
b
ba
a
.
176.Cho 1 ,0, ,,,,
2121
=+++>
nn
xxxxxx
ba
. Chng minh rng
)(
1
1
3
32
3
2
21
3
1
babababa
+
+
++
+
+
+ nx
x
xx
x
xx
x
n
n
.
177.Cho
[ ]
1;0, ẻyx
. Chng minh rng
xy
yx
+
Ê
+
+
+
1
2
1
1
1
1
22
.
178.Cho x,y,z > 0 , xyz = 1 ,
*
,
111
Nkzyx
zyx
ẻ++>++ . Chng minh rng
kkk
kkk
zyx
zyx
++>++
111
.
179. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin a + b + c = 1. Chng minh rng
a. 11.1.1
333
Ê-++-++-+ bacacbcb .
180.
Cho x, y, z l cỏc s thc dng tho món iu kin x + y + z = 1. Chng minh rng
8
27
1
1
1
1
1
1
Ê
-
+
-
+
- xzyzxy
.
181. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
++++
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
++
cba
cba
a
c
c
b
b
a 111
)(
2
.
182.
Cho hai s
,x y
liờn h vi nhau bi ng thc
2 2
2 7( ) 2 10 0x xy x y y+ + + + + = . Tỡm giỏ tr ln nht
v giỏ tr nh nht ca biu thc
1S x y= + +
.
183.
Vi a,b l cỏc s thc tho món ng thc
4
9
)1)(1( =++ ba
, hóy tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
44
11 baP +++=
.
www.VNMATH.com
550 Bi Toỏn Chn Lc Bt ng Thc Trn Mnh Cng
14
184. Cho a,b,c,d l cỏc s thc dng. Chng minh rng
abcd
dcba
dcba
+++
+++
3333
1111
.
185.Cho
[ ]
1;0,, ẻcba
. Chng minh rng
2
111
Ê
+
+
+
+
+
ab
c
ca
b
bc
a
.
186. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin a + b + c = 1. Chng minh rng
3
1
Ê++ accbba .
187. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin a + b + c = 1. Chng minh rng
c
c
b
b
a
a
c
a
a
c
a
b
-
+
+
-
+
+
-
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
++
1
1
1
1
1
1
2
.
188. Cho a,b,c l cỏc s thc dng. Chng minh rng
cba
ba
cba
a
c
c
b
b
a
++
-
+++++
2222
)(4
.
189. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin abc = 8. Chng minh rng
3
4
)1)(1()1)(1()1)(1(
33
2
33
2
33
2
++
+
++
+
++ ac
c
cb
b
ba
a
.
190. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin abc = 1. Chng minh rng
1
222
222
Ê
+
+
+
+
+ c
c
b
b
a
a
.
191. Cho x,y,z l cỏc s thc dng tho món iu kin
1xyz
. Chng minh rng
0
225
25
225
25
225
25
++
-
+
++
-
+
++
-
yxz
zz
xzy
yy
zyx
xx
.
192. Cho a,b l cỏc s thc dng. Chng minh rng
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
+
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
++
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
++
2
1
2
2
1
2
4
3
4
3
22
baabba
.
193. Cho a,b,c l cỏc s thc dng tho món iu kin
1
111
=++
cba
. Chng minh rng
(a 1)(b 1)(c 1)
8
.
194.Cho x l s thc dng v n l s nguyờn dng. Chng minh rng
1 + x
n + 1
1
)1(
)2(
-
+
n
n
x
x
.
195. Cho x l s thc dng v n l s nguyờn dng. Chng minh bt ng thc sau
www.VNMATH.com
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét